五等分圓周

等分圓周方法

作法(一):單規作圖法--只能用圓規, 不能用直尺

以 O 為圓心, a 為半徑作一個圓.

⑴ 以 a 為半徑在圓上相繼取相等的弧 AB, BC, CD 和 DE.

⑵ 以 AC 為半徑, A 和 D 分別為圓心, 作弧相交於 F.

⑶ 以 OF 為半徑, A 為圓心作弧交圓 O 於 G.

⑷ 仍以 OF 為半徑, 分別以 C 和 E 為圓心, 作弧交於 H.

GH 即是內接正五邊形的邊長, 以圓上任意一點開始, GH 為半徑, 相繼在圓上取 5 個點, 這 5 個點就可以五等分圓.

作法(二): 尺規作圖法

以 O 為圓心, a 為半徑作一個圓.

⑴ 作直徑AD和半徑OG，使OG⊥AD.

⑵ 作OD的中點K.（OK=a/2）

⑶以 K為圓心, KG為半徑作弧交AD於H.(HK=KG=a√5/2)

易求得HO = HK - OK = a√5/2 - a/2 = (√5-1)a/2,GH=a√((5-√5)/2)

∴GH 即是內接正五邊形的邊長, 以圓上任意一點開始, GH 為半徑, 相繼在圓上取 5 個點, 這 5 個點就可以五等分圓

連線線段 OA, OD, OF, AC, AF, AG, CH, CE.

OD, CE 相交於 K,

以下事實是容易證明的:

A, O, D, H 共線;

AC = a√3; (AC 實為 3 等分圓的取點半徑, 對應圓心角為 120°)

AG = OF = a√2; (見詳證●)

G 在 OF 上, 且 OG ⊥ OA; (見詳證●)

HK² = CH² - CK² = 2a² - 3a²/4 = 5a²/4; (見詳證①)

HK = a√5/2;

HO = (√5-1)a/2. (見詳證②)

因此, HO 長是圓的內接正十邊形的邊長(見詳證③ 第1.節)

在半徑為 a 的圓中, 內接正五邊形的邊長(見詳證③ 第2.節)

m = a√((5-√5)/2)

m² = a²(5-√5)/2

GH² = HO² + OG² = ((√5-1)a/2)² + a² = a²(6-2√5)/4 + a² = a²(5-√5)/2

∴ GH = m, 即 GH 為內接正五邊形的邊長

以下為中間過程或引理詳細證明:

●證明:

由作法易知, A, B, C, D, E 都是圓的 6 等分點, AD 為直徑,

由 F 的作法易證 OF ⊥ AD (AF = DF => △FAD 為等腰三角形, 底邊 AD 的中線 OF 必也是高),

AF = AC = a√3,

∴ OF² = AF² - AO² = (a√3)² - a² = 2a² => OF = a√2.

由作法知

AG = OF = a√2