不相關隨機變數

不相關隨機變數(uncorrelated random variables)是一類隨機變數，是指相互間沒有線性關係的隨機變數。如果隨機變數ξ，η的相關係數r=0，則稱ξ，η不相關。顯然，如果ξ，η相互獨立，則必定不相關。且下述事實等價：1.ξ，η不相關，即r=0；2.cov(ξ，η)=0；3.Eξη=EξEη；4.D(ξ+η)=Dξ+Dη。 一般地，若ξ，η不相關，它們未必相互獨立，但當(ξ，η)是二維常態分配時，獨立與不相關等價。

基本介紹

• 中文名：不相關隨機變數
• 外文名：uncorrelated random variables
• 定義：相互間沒有線性關係的隨機變數
• 特點：相關係數等於0
• 相關概念：相關係數，協方差，相互獨立等

基本概念

不相關隨機變數是指兩個變數的相關係數為0的變數，是相互間沒有線性關係的變數。變數間的關係主要有互不相容、對立、獨立和互不相關。

互不相容：若兩事件A與B不能同時發生，則稱A與B是互不相容事件，或稱互斥事件，記作。

對立：在互不相容的基礎上再加一個條件，。通俗的說所謂對立事件，有你沒我，有我沒你，咱倆之間必須有一個。

獨立：設A，B是兩事件，如果滿足等式，則稱事件A，B相互獨立，簡稱A，B獨立。

不相關：若隨機變數 X 和 Y 的相關係數，稱 X 與 Y 不相關，眾所周知，獨立變數一定不相關（自然要求方差有限），不獨立變數也可以不相關，單位圓內的均勻分布即其一例。

相關關係與相關係數

基本介紹

相關關係是一種非確定性的關係，相關係數是研究變數之間線性相關程度的量。由於研究對象的不同，相關係數有如下幾種定義方式。

簡單相關係數：又叫相關係數或線性相關係數，一般用字母r 表示，用來度量兩個變數間的線性關係。

定義式

其中，為X與Y的協方差，為X的方差，為Y的方差

復相關係數：又叫多重相關係數。復相關是指因變數與多個自變數之間的相關關係。例如，某種商品的季節性需求量與其價格水平、職工收入水平等現象之間呈現復相關關係。

典型相關係數：是先對原來各組變數進行主成分分析，得到新的線性關係的綜合指標，再通過綜合指標之間的線性相關係數來研究原各組變數間相關關係。

相關係數的性質

這裡，，是一個可以表征和之間線性關係緊密程度的量。它具有兩個性質：

（1）

（2）的充要條件是，存在常數a，b，使得

由性質衍生：

a. 相關係數定量地刻畫了 X 和 Y的相關程度，即越大，相關程度越大；對應相關程度最低；

b. X 和Y 完全相關的含義是在機率為1的意義下存線上性關係，於是是一個可以表征X 和Y 之間線性關係緊密程度的量。當較大時，通常說X 和Y相關程度較好；當較小時，通常說X 和Y相關程度較差；當X和Y不相關，通常認為X和Y之間不存線上性關係，但並不能排除X和Y之間可能存在其他關係。

不相關和獨立

若X和Y不相關，，通常認為X和Y之間不存線上性關係，但並不能排除X和Y之間可能存在其他關係；若，則X和Y不相關。

若X和Y獨立，則必有，因而X和Y不相關；若X和Y不相關，則僅僅是不存線上性關係，可能存在其他關係，如，X和Y不獨立。

因此，“不相關”是一個比“獨立”要弱的概念。

判定方式

兩個變數是不是相關變數需要用相關係數r來判定，相關係數是用以反映變數之間相關關係密切程度的統計指標。相關係數是按積差方法計算，同樣以兩變數與各自平均值的離差為基礎，通過兩個離差相乘來反映兩變數之間相關程度。相關係數r的計算方式如下：

式中：

，稱為與的離均差積和；

，稱為的離均差平方和；

，稱為的離均差平方和。

計算出的值可能出現以下幾種情況：

，正相關；

，負相關；

，完全正相關；

，完全負相關；

，無相關。

且：

其中為X與Y的協方差，為X的方差，為Y的方差。

當時，稱X，Y為不相關變數。