一階偏微分方程

一階偏微分方程

一階偏微分方程是最簡單的一類偏微分方程。一階偏微分方程的幾何理論有悠久的歷史淵源,以後經過É.(-J.)嘉當等人的發展,在幾何學、力學和物理學中都有重大的意義。

基本介紹

  • 中文名:一階偏微分方程
  • 外文名:partial differential equation of first order
  • 實質:微分
  • 特點:最簡單的偏微分
  • 詞條類型:數學
定義,偏微分方程,套用,

定義

函式所包含的偏導數的最高階數稱為偏微分方程的階。如果函式中 u 的偏導數只是 u 的一階偏導數,則稱該方程為一階偏微分方程。

偏微分方程

[partial differential equation]
偏微分方程是包含未知函式及其偏導數的方程。如果
是自變數,以
為未知函式的偏微分方程的一般形式是
這裡 F 是它的變元的函式,
為非負整數,
F 所包含的偏導數的最高階數稱為偏微分方程的階。如果 F 中 u 的偏導數只是 u 的一階偏導數,則稱該方程為一階偏微分方程。
如果 F 中 u 的最高階偏導數是二階,則稱該方程為二階偏微分方程(partial differential equation of higher order)。
如果一個偏微分方程中,未知函式及其所有各階偏導數以線性形式出現,則將這個偏微分方程稱為線性偏微分方程(linear partial differential equation),反之,則稱為非線性偏微分方程(nonlinear partial differential equation)。
若一個非線性偏微分方程中,未知函式的所有最高階偏導數以線性形式出現,而其係數含有該未知函式或其較低階的偏導數,則稱這樣的非線性偏微分方程為擬線性偏微分方程(quasilinear partial differential equation)。
又若一個非線性偏微分方程中,未知函式的所有最高階偏導數以線性形式出現,且最高的階偏導數的係數也不含未知函式與其較低階的偏導數,這樣的非線性偏微分方程稱為半線性偏微分方程(semilinear partial differential equation)。

套用

一階偏微分方程的幾何理論有悠久的歷史淵源,以後經過É.(-J.)嘉當等人的發展,在幾何學、力學和物理學中都有重大的意義。
偏微分方程研究各類偏微分方程的求解與解的性質。在18世紀初,微積分理論形成後不久,人們就開始結合物理問題研究偏微分方程,並逐漸形成一個獨立的數學分支。最早研究的幾個偏微分方程是弘振動方程、熱傳導方程和調和方程。隨著力學、物理學的發展,連續介質力學、電磁場論、量子力學、引力理論規範場論等方面的基本規律都被寫成偏微分方程的形式。數學領域中分析學、幾何學中很多基本問題也可歸結為一些偏微分方程的求解。近年來,在各門自然科學、工程技術以致金融、經濟、社會學等學科中又不斷歸結出一些新的偏微分方程,它們的研究對於相應學科的發展是十分重要的。

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