jordan-chevalley分解

在數學方面，Jordan-Chevalley分解（Jordan–Chevalley decomposition），以Camille Jordan和Claude Chevalley的名字命名，表示線性運算元作為其通勤半單部分及其冪零部分的總和。乘法分解表示一個可逆運算元作為其通勤半單元和單極部分的乘積。分解在代數群的研究中很重要。當給出Jordan運算元的Jordan正規形式時，分解很容易描述，但它存在於弱假設，而不是存在Jordan正規形式。

基本介紹

• 中文名：jordan-chevalley分解
• 外文名：Jordan–Chevalley decomposition
• 學科：數理科學
• 領域：代數群

定義

Jordan-Chevalley分解概念如下：

階復矩陣 可以分解為 ，其中 、 滿足如下條件：

（1） 是個可對角化的矩陣；

（2） 是個冪零陣；

（3） ；

（4） 、 都可以表示為 的多項式；

不僅如此，僅滿足（1）、（2）、（3）條件的分解就是唯一的。

自同態分解

考慮在完美場上的有限維向量空間上的線性運算元。如果運算符 具有互補的T-不變子空間，則運算符T是半單的。如果某個冪是零運算符，則運算符是冪零的。如果 是冪零的，則運算符是冪單的。

表示任意運算符，的Jordan-Chevalley分解可表示為下列求和：

其中，是半單，是冪零的， 和 _是通勤的。如果存在這樣的分解，則它是唯一的。實際上 和 可表示為中的多項式。

如果是一個可逆運算符，那么乘法Jordan-Chevalley分解表示如下：

其中， 是半單， 是單能， 和 _是通勤。同樣，如果存在這樣的分解，則它是唯一的，並且 和 可表示為的多項式。

對於有限維向量空間的自同態，其特徵多項式在地面場上分解成線性因子，Jordan-Chevalley分解存在並且對Jordan正規形式有簡單的描述。如果 是Jordan正規形式，則 是自同態，其同一基礎上的矩陣僅包含 的對角項，而 是自同態，其基礎上的矩陣僅包含非對角線項; 是一種自同態，其矩陣是通過將每個Jordan塊的所有條目除以其對角元素而從Jordan範式獲得的。