cuscore

Cuscore統計量——Q=Σ[y(t)-βt]t ，由Box and Luceno 博士於1987提出，屬於統計過程控制量SPC( Statistical Process Control)，主要運用於地質學，氣象學，以及資本市場（股票，外匯等）價格圖形技術分析與工廠產品（軸承，滾輪等）誤差範圍控制。Cuscore統計量主要通過對隨機過程中的樣本數據的趨勢變化率來控制各種信號。

基本介紹

• 中文名：統計量
• 外文名：cuscore
• 提出人：Box and Luceno
• 提出時間：1987年

研究方法

趨勢變化識別

對於一個已知分布的隨機過程，圖一. 顯示了一系列樣本函式的基本趨勢，斜率為1.0，同時一個斜率為1.3的變化（突變）移動，從時間10的地方開始出現。為了識別出樣本函式隨機變數的趨勢變化，將Cuscore統計量定義為

圖一. 樣本函式

Q=Σ[y(t)-βt]t ；其中y(t)是一系列的觀測值，β是斜率（也就是觀察的時間序列值在每個時間單位的變化率），t為時間指數。Cuscore值形成的圖形如圖二所示。

圖二. Cuscore統計量

這種統計識別方法揭露和展示了斜率上的變化所呈現出來的證據。當斜率從初始值1.0增加30%變為1.3，其變化的幅度應該很明顯的。30%已經很接近1/3的程度，是一個很大的變化，應該引起我們的注意，但我們很難在圖一中t=10的地方識別出變化趨勢。

帶噪聲數據趨勢識別

當觀測值並沒有落在指定的數學曲線上時，如圖三加入了隨機的噪聲，並依然按照30%的變化率轉變，Cuscore統計量比無噪聲數據顯現了更強的趨勢增強信號。

圖三. 隨機噪聲加入

量的分析

在圖四中，ABC這條線是一個趨勢變化的原型。第一個線段AB的斜率為0.5，而第二個線段BC的斜率為1.5。虛線BD是直線AB的延長線。虛線AE與直線BC平行，斜率也是1.5。當斜率發生變化，觀測值就會偏離基礎模型（也就是沒有斜率變化）的期望值。順著直線BC，y的值超過了直線BD的期望值，隨著時間地不斷增加。在圖五中，我們根據Q值的累計偏差，就可以得到如曲線1所示的圖形。

圖四. 趨勢變化圖

現在我們假設事先不知道直線AB與BC的斜率，也不知道在B點的斜率發生了變化。假設我們最好的理解是，從A點開始應該出現一個1.0的斜率，如直線AC所示。在圖五中，Cuscore統計量顯示為曲線2的圖形。Cuscore統計量的圖形差異極大。根據這個假設的基礎模型，得到的偏差序列，可以明顯看出趨勢的斜率發生了變化。

圖五. β=0與β=1的Cuscore統計量

實際運用

數據監控

對自相關數據的監控，可先對數據擬合一個合適的時間序列模型，然後運用此模型來消除自相關性，對殘差進行統計過程控制 監控。 但是這些控制圖都忽略了故障表征的動態特性。因此，我們使用Cuscore統計量來進行預期信號的識別。

首先，構建如下模型

ai = ai( yi，xi，γ) i = 1，2，…，l (1)

其中yi是觀測值，xi是已知的輸入變數，γ 是失控信號的某個未知參數，ai ～ N( 0，σ2a) ，則對數

似然函式為

l = － 1/2σ2a*Σai^2+ c

其中c 為不依賴於γ 的常數。 則有效得分統計量為

為令式(1)中γ = γ0時ai的取值，di為探測信號(detector) 。 將Cuscore 統計量定義為

Q =Σai0*di

當Cuscore 統計量用於監控過程信號時，使用下面的公式監控Cuscore 統計量的正向和負向變化

如果Qt+或Qt-超限，就認為過程失控

金融序列變化率識別

為了在一個股票的價差序列中，為了識別出其中的突變移動，可以運用Cuscore統計量增加的速率來找到突變的時間節點。

首先，為了量化金融時間序列的變化率，我們使用指數加權移動平均（EWMA，Exponentially Weighted Moving-Average），來計算局部的平均值（實際操作中應當平移幾個時間單位長度）

圖六. EWMA時的Cusecore統計量

在圖六中，EWMA一直低估了實際的序列值；這是移動平均值或者指數加權移動平均值的顯著特徵，他們的目的不是用來描述持續的趨勢。因此，從序列的一開始，Cuscore統計量逐漸變大。Cuscore統計量就是新的斜率與舊的斜率（直線BC-BD之間的垂直差異）之間的差異，如圖中的p-q所示。以估計的水平來說，從初始趨勢線AB延長到BD產生p-q，會被EWMA產生的p-r取代，這個偏差值很小。斜率變化後，會降低Cuscore統計量的變化靈敏度。也就是說，延遲平均值的更新，可以恢復Cuscore統計量的靈敏度。如圖中，在Cuscore統計量從p-r增加到p-s，非常接近我們想要的p-q。