《Willmore泛函的若干問題》是依託武漢大學，由羅勇擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Willmore泛函的若干問題
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：羅勇
- 依託單位：武漢大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Willmore泛函在套用物理，數學生物學以及基礎數學裡面都有重要的套用。近年來，人們對Willmore曲面方程，Willmore泛函的變分，Willmore能量的估計等方面的研究都取得了豐富的進展。在Willmore泛函的變分方面，Leon Simon和Bauer以及Kuwert的工作一起，證明了Willmore泛函在任意固定虧格的閉曲面類裡面達到極小。隨後，Minicozzi證明了Willmore泛函在R^4中的拉格朗日環面類裡面達到極小。最近，申請人和王國芳合作，考慮了Willmore泛函在拉格朗日曲面類裡面的兩類變分問題，引進了HW曲面以及HW流的概念，證明了非緊HW曲面的一個小能量曲率估計及gap定理以及HW流的適定性。在本項目中，申請人將繼續這方面的研究，考慮緊HW曲面的gap定理以及HW流的長時間存在和收斂性。此外，申請人還將考慮Willmore整圖的Bernstein性質。
結題摘要
Willmore泛函在彈性力學，天文學中的霍金質量，以及數學自身發展中都有重要的背景和套用。本項目側重於Willmore泛函作為一個曲面的曲率泛函以及作為一個高階（四階）幾何偏微分方程的重要模型進行研究。我們主要研究Willmore曲面的Bernstein型的定理以及Willmore泛函和拉格朗日曲面理論以及勒讓德曲面理論的互動關係。沿著這條研究路徑，我們定義了Willmore泛函在5維單位球中的勒讓德曲面類裡面的變分問題，Willmore勒讓德曲面的剛性問題，以及與此相關的體積泛函對應的幾何變分問題。主要結果包括：Willmore勒讓德球的唯一性，Willmore勒讓德環面的剛性性質，CSL曲面的剛性性質等。不在項目研究計畫之中，但與項目的研究密切相關（在研究項目進展過程中產生的研究想法和成果）的成果還包括外蘊雙調和映射帶邊熱流的整體弱解存在性的證明以及雙調和子流形的非存在性定理等。這些研究成果豐富了關於高階幾何偏微分方程特別是四階幾何偏微分方程的研究，而該領域是一個相對新的（主要的發展始於本世紀初），還不成熟的研究領域，急需新的理論和成果來加深對它的理解。
