有關Willmore流若干問題的研究

《有關Willmore流若干問題的研究》是依託北京工商大學，由劉艷楠擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：有關Willmore流若干問題的研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：劉艷楠
• 依託單位：北京工商大學

項目摘要

Willmore流的研究來源於幾何中著名的Willmore猜想，這一猜想自1965年提出，有許多數學家對此猜想進行了研究。由於Willmore泛函極小的存在，近些年來Willmore泛函的負梯度流即Willmore流的研究倍受關注。 由於Willmore流是四階曲率流，對它的研究有一定難度。本項目擬研究Willmore流的奇點問題和弱解正則性問題：一、研究Willmore流的奇點性質。首先，我們考察Willmore奇點處曲率的漸近性質，希望得到奇點發生處曲率漸近爆破的條件。其次，研究奇點是否有限發生時間，這仍是一公開問題。二、Moser定義了Willmore流的弱解，並給出在某一集合S外，流的光滑解長時間存在。我們擬在這一基礎上研究集合S 的性質，給出弱解的正則性。

結題摘要

本項目主要研究一類四階曲率流，Willmore流的若干問題，具體研究Willmore流的奇點和弱解正則性問題。下面，本人作為項目負責人簡要敘述下本項目的成果和項目的進展情況。 首先，項目實施期間， 本項目組一直在跟蹤關於Willmore流研究的進展。2013年 F. C. MARQUES 和 A. NEVES 利用極小曲面的min-max理論完成了Willmore猜想的證明，而對於Willmore流的研究進展不大。由於對Willmore流，我們還沒有找到合適的幾何量來刻畫奇點，使得我們目前為止對這一問題的這一方向進展不大。我們認為如何在不能使用極值原理的前提下找到合適的幾何量，是Willmore流突破的關鍵，也是主要困難所在，這需要高階方程的理論的創新。 我們試圖從另外一個方面去研究Willmore流。我們研究了一類全局限制的Willmore流，這也可以看作是帶外力場的Willmore流。當外力項為零是，所研究的流的即為Willmore流。作為Willmore流的推廣，它的性質與Willmore流並不相同。除此之外，我們這類流是研究保持體積或面積的Willmore泛函的梯度流，具有進一步研究的理論意義。具體地，我們首先給出了這類流的短時間存在性。接著我們給出光滑解的存在下界和 Gap 引理。 作為四階曲率流的另一研究方法，我們繼續二階曲率流的研究。首先，我們研究了帶外力項的逆平均曲率流，給出了不同外力場下流的刻畫，並進一步對一類帶常外力場的全非線性流，對不同外力場給出流的完全分類。 借鑑Ricci 流研究中，非坍塌性的套用，以及目前國際上對於平均曲率流非坍塌性的關注，本項目組研究了星形平均曲率流的非坍塌性以及曲線流的非坍塌性。這對高階曲率流奇點的研究也具有理論指導意義 2013年，本人受國家留學基金委的資助訪問了美國聖母大學韓青教授，與HANQING 教授合作的退化雙曲方程的適定性問題也獲得了進展。 綜上所述，本項目的研究取得了很大的進展，但仍有部分問題未解決，需要後續的研究。