基本介紹
- 中文名:U統計量
- 外文名:U-statistic
- 屬性:一種重要的統計量
- 提出者:霍夫丁(W.Hoeffding)
- 提出時間:1948年
基本介紹,相關性質,統計量,
基本介紹
估計問題有的是對特殊分布族的某個參數函式的估計,例如Bernoulli分布
的機率p的估計問題,也有一些是對廣泛的分布族
中分布F的某個特徵的估計問題,例如分布F的均值、方差或分布函式在某一點的函式值
的估計問題。對於分布的特徵均值
或分布函式在
的函式值也可寫成如下的形式:
![](/img/e/b06/bbb821a8a4bfe791240113f6a6e6.jpg)
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式(1)中的h也稱為參數函式g的核(kernel),k稱為核的階(order)。
對於以
為核的參數函式
, 一個基於樣本
的簡單的無偏估計是
,但它只使用了樣本的前幾個觀測,為了利用所有的觀測,一個自然的做法是對稱化。
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![](/img/d/b80/c21e6ed6090872c6f06bec3424d5.jpg)
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![](/img/e/ef4/dbc5aa02d99d2cee67c8700758e9.jpg)
定義 基於樣本
的統計量
![](/img/2/fbe/b250baf600f96fbd7a8411eb967b.jpg)
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![](/img/b/3f6/166ed659448dd94ee9dff80bb373.jpg)
![](/img/6/afd/6b187cfb5a12b4322720f00c9d58.jpg)
相關性質
(1)以h為核的U-統計量是h對應的參數函式
的無偏估計。
![](/img/f/4b9/12357881221e09ada09ed8cd1787.jpg)
(2)由於對
的任一個排列
成立
![](/img/b/6ef/c761a6c3100df9536ece124f2650.jpg)
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![](/img/1/ec9/3be50c458621fe42de8481e7192f.jpg)
![](/img/2/8d8/4b364f9ba3e6e25b3ad3ada0594f.jpg)
![](/img/2/554/576d50066dc461df7f1c7aa39d2b.jpg)
![](/img/a/975/5a3af76b0be6a059623968cd77a7.jpg)
(3)對於對稱的k階核h,其U-統計量可寫為
![](/img/b/960/9243ef82eeda9a5aab11250c058c.jpg)
(4)U-統計量關於
的任一排列
是不變的,所以它是只依賴於樣本順序統計量的函式。
![](/img/5/955/66b898a397bef0946f0b12d13539.jpg)
![](/img/1/05d/eb645abd35d56e2eb6a4c299959a.jpg)
統計量
統計量(statistic)是指樣本的已知函式,其作用是把樣本中有關總體的信息匯集起來,是數理統計學中一個重要的基本概念。常用統計量有樣本矩、次序統計量、U統計量和秩統計量等。其中U統計量是W.霍夫丁於1948年引進的。統計量的充分性和完全性是兩個重要概念,充分性是費希爾在1925年引進的,內曼和P.R.哈爾莫斯在1949年嚴格證明了一個判定統計量充分性的方法,叫做因子分解定理。統計量的分布叫做抽樣分布,它的研究是數理統計中的重要課題。對一維正態總體,有三個重要的抽樣分布,即
分布、
分布和
分布。其中
分布是F.赫爾梅特於1875年在研究正態總體的樣本方差時得到的;
分布是英國統計學家W.S.戈塞特(筆名“學生”)於1908年提出的;
分布是費希爾在20世紀20年代提出的。
![](/img/c/50b/5263bee07448444bb80198596d65.jpg)
![](/img/8/9c6/0097e38e2dacfb8235c16ccf54d7.jpg)
![](/img/1/3bd/3747dc2ce8b07ba00cece50bcecb.jpg)
![](/img/c/50b/5263bee07448444bb80198596d65.jpg)
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![](/img/9/446/8ecd1039cd2a58cfe0c0f7bf0b8f.jpg)