GARCH模型

ARCH模型

ARCH模型（Autoregressive conditional heteroskedasticity model）全稱“自回歸條件異方差模型”，解決了傳統的計量經濟學對時間序列變數的第二個假設（方差恆定）所引起的問題。這個模型是獲得2003年諾貝爾經濟學獎的計量經濟學成果之一。

傳統的計量經濟學對時間序列變數的第二個假設：假定時間序列變數的波動幅度（方差）是固定的，不符合實際，比如，人們早就發現股票收益的波動幅度是隨時間而變化的，並非常數。這使得傳統的時間序列分析對實際問題並不有效。

羅伯特·恩格爾在1982年發表在《計量經濟學》雜誌（Econometrica）的一篇論文中提出了ARCH模型解決了時間序列的波動性（volatility）問題，當時他研究的是英國通貨膨脹率的波動性。

以

表示收益或者收益殘差，假設

，此處

（即獨立同分布，均符合期望為0，方差為1的常態分配）此處序列

建模為

（其中

如果方差用ARMA模型來表示，則ARCH模型的變形為GARCH模型（波勒斯勒夫（Bollerslev），1986年）。

GARCH（p，q）模型為

IGARCH模型對GARCH的參數做了限制。IGARCH（p，q）模型可以表示為：

條件是：

。

GARCH-M模型把異方差項引入平均數方程式。一個簡單的GARCH-M（1，1）模型可以表示為：

殘差項

定義為：

ARCH模型能準確地模擬時間序列變數的波動性的變化，它在金融工程學的實證研究中套用廣泛，使人們能更加準確地把握風險（波動性），尤其是套用在風險價值（Value at Risk）理論中，在華爾街是人盡皆知的工具。