龐特里亞金對偶定理

簡介

龐特里亞金對偶定理是關於局部緊交換群與其對偶群的同構定理。

設G為局部緊交換群，Ĝ為G的對偶群。對x∈G，γ∈Ĝ記<x,γ>=γ(x)，則x可看做C上的特徵標，從而有映射G→G:x→<x,γ>。

龐特里亞金對偶定理稱：上述映射是拓撲群G到G上的同構。因此G等同於Ĝ，常記G=Ĝ。

在數學上，特別是在調和分析與拓撲群的理論中，龐特里雅金對偶定理解釋了傅立葉變換的一般性質。它統合了實數線上或有限阿貝爾群上的一些結果，如：

實數線上夠“好”的複數值周期函式能表成傅立葉級數，反之也能從傅立葉級數推出原函式。

實數線上夠“好”的複數值函式有傅立葉變換；一如周期函式，在此也能從其傅立葉變換反推出原函式。

有限阿貝爾群上的複數值函式有離散傅立葉變換，這是在對偶群上的函式。此外，也從離散傅立葉變換反推原函式。

(locally compact abelian group)

局部緊交換群是一類特殊的交換群。

設G是一個局部緊豪斯多夫空間，又是一個交換群，且映射

是連續的，則稱G為局部緊交換群，簡稱LCA群。