龐特里亞金定理

龐特里亞金定理是關於滯後型線性自治系統特徵根分布的一個重要定理。是1942年龐特里亞金在理論上給出的準則。

基本介紹

• 中文名：龐特里亞金定理
• 外文名：Pontryagin theorem
• 適用範圍：數理科學

簡介

龐特里亞金定理是關於滯後型線性自治系統特徵根分布的一個重要定理。

線性自治常微分方程的特徵根全部分布在虛軸左邊的充分必要條件是眾所周知的勞斯-霍維茨判據。對滯後型線性自治系統是否有類似的準則?1942年，龐特里亞金在理論上給出了這種準則，這就是龐特里亞金定理。

具體內容

把線性自治差分微分方程的特徵方程寫成H(z)=h(z,e^z)=h(z,t)，設諸項中z的最高次數為r，t的最高次數為s，若a≠0，則az^rt^s稱為h(z,t)的主項。再記

則龐特里亞金定理斷言：

1、若h(z,e^z)有主項，則它的所有零點均具負實部的充分必要條件是，F(y)和G(y)的根都是實的，並且有一個y的值使

2.若h(z,e^z)沒有主項，則h(z,e^z)必存在具任意大實部的零點。

意義

龐特里亞金定理的第二部分證明了超前型與混合型系統的零解必定是不穩定的這一事實。第一部分給出滯後型系統零解漸近穩定的充分必要條件。

但對中立型系統，判斷特徵根均具負實部這一點並不能保證漸近穩定性。必須指出，龐特里亞金定理的條件是超越的，難以檢驗的，從套用的角度看，特徵根分布的代數判斷準則是目前亟待研究的課題。