龐加萊模型(Poincare's model)一種羅氏幾何模型。第一個在歐幾里得幾何系統中構造出羅巴切夫斯基幾何公理系統模型的是法國數學家龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)，由於該模型與非歐幾何的相容性問題以及如何解決第五公設問題等直接相關，從而以龐加萊模型稱之。
基本介紹
- 中文名：龐加萊模型
- 外文名：Poincar's mode
- 模型：羅氏幾何模型
- 構建人物：龐加萊
- 人物簡介：法國數學家
- 空間陳述：5條結合公理I、一I
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概念
龐加萊模型(Poincare's model)一種羅氏幾何模型。第一個在歐幾里得幾何系統中構造出羅巴切夫斯基幾何公理系統模型的是法國數學家龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)，由於該模型與非歐幾何的相容性問題以及如何解決第五公設問題等直接相關，從而以龐加萊模型稱之。將羅巴切夫斯基幾何公理表中有關空間陳述之5條結合公理Ⅰ4-Ⅰ8去掉，構成一個羅巴切夫斯基平面幾何公理系統，記為Σ0。
詳細構造
現要在歐氏平面上構造出Σ0的模型。任取歐氏空間的一個平面，稱為L平面，又把毯上的點稱為I點，再把垂直於 u而位於C上的半直線，以及圓心在u上而圓周與 u垂直且位於毯上的半圓周統稱為L直線。實際上，這裡也可將垂直於u而位於巧上的半直線視為半徑無限大而圓周垂直於u的半圓周。人們把I平面上的L點和L直線作為所選取的一組客觀對象。可以逐條驗證所選對象之間的關係得以滿足公理系統諸公理。例如，由於在歐氏意義下，過毯上任何兩點 A和B能且只能作一個半圓周，使其圓心在u上，並且圓周與u成直角，這就驗證了}o中之結合公理工，與I:是成立的，亦即所選對象滿足下述公理之要求：I在L平面上任給二不同的L點A和B，則至少有一條L直線a連結A和B。在L平面上任給二不同的I。點A和B，至多有一條L直線a連結A和B。設a表示任上任一半徑有限長的I。直線，其圓心為u上點O且與u正交於X和Y兩點，A為毯上不在a上的一個L點。如圖所示。
圖1龐加萊模型在歐氏意義下連結A與X，並作線段AX之中垂線交u於點O′，再以O′為中心，以O′A=O′X為半徑作圓a′，與a所在圓周a相切於點X。在歐氏意義下X是a和a′之惟一的公共點，在C上的a′為L平面上過L點A的一條L直線，可斷言L直線a與a′在L平面上沒有公共點。此處應注意X在u上而不為C上的L點。完全類似地，過L點A且與u正交於Y的L直線a"在C上也與a沒有公共點。這表明過A至少存在兩條L直線a′和a"在C上與a不相交。另一方面，若當L直線a之半徑無限長且與u正交於Z時，而A為C上不屬於a的一點，則亦如圖所示，在C上也至少存在著兩條L直線a1和a2，它們過A而在C上與a不相交。所以不論在哪種情況下，都能驗證所選對象滿足羅氏公設。亦即有：
過L平面C上任一已知L直線外的任一L點，至少能引兩條L直線與該已知L直線在L平面上沒有公共點。
因此，就在歐氏平面上構造了一個羅氏平面幾何公理系統的模型，稱為龐加萊模型。當然，還應指出的是，對於Σ的各條公理的驗證，有的是相當複雜的，並非都像如上舉例的幾條那么輕而易舉。特別是對於Σ0中諸契約公理的驗證，還要涉及解析函式論中的反形變換概念及保角變換理論等.但不論如何，均能一一驗證是無疑的。
羅氏幾何
非歐幾何的一種，亦稱“雙曲幾何學”。是俄國數學家羅巴切夫斯基創立的。羅氏幾何的創立是從研究“歐氏幾何”第5公設即著名的平行公理(見“歐幾里德幾何”)是否能用其他公理證明開始的。平行公理不僅在形式上比其他公設複雜，而且在《幾何原本》中，從第29個命題開始才用到這個公理，於是人們產生了能否把它作為定理而從其他公設和基本概念導出來的願望。從古代開始，很多數學家企圖證明第5公設，但經歷了兩千多年的時間都未成功。直到1826年，喀山大學的數學教授羅巴切夫斯基才徹底解決了這一問題，他於同年2月23日，在物理數學系的會議上宣讀了 《關於幾何原理的議論》，這篇報告在1829年刊登在喀山大學學報上。
羅巴切夫斯基早在1815年就開始研究第五公設，最初他企圖用反證法證明第5公設，但是，從與歐氏平行公理相矛盾的命題出發，展開推論，雖然得出一些在當時看來是不可思議的結果，卻始終沒有發現邏輯上的矛盾，羅巴切夫斯基由此得出兩個結論：①平行公理不能被證明;②新的與歐氏幾何對立的幾何學本身無矛盾，在邏輯上是可能成立的。並於1835年出版專著《新幾何原本》，後人稱之為羅巴切夫斯基幾何學，簡稱“羅氏幾何”。
羅氏幾何引用了與平行公理相反的公理：“過直線外一點至少可以作兩條直線和已知直線不相交。”同時證明三角形三內角之和小於180°，並提出了自己的公理系統，建立了一種全新的幾何學，它與歐氏幾何一樣是一種嚴密的數學理論。羅氏幾何的創立是運用演繹推理建立的幾何體系，有著方法論的意義，而且，也為人們深入認識空間的性質，從數學上開闢了一條道路。
龐加萊
法國著名數學家、天文學家、物理學家和科學哲學家。1875年畢業於巴黎多科工藝學校，1879年以關於微分方程一般解的論文獲得博士學位，同年到卡昂大學任教.1881年入巴黎大學任教授，直到去世。他一生寫下了將近500篇科學論文和30部專著，這還不包括頗受歡迎的科學哲學著作和趣味盎然的科普著作。他的貢獻幾乎遍及了當時數學和物理學的全部領域。
龐加萊對數學的第一個重大貢獻是在1880年以後創立了自守函式理論，解決了解析函式的單值化問題。
1884年法國《數學學報》連續發表了他關於這一課題的5篇論文，立即使他獲得了世界性的聲譽。他又是多復變解析函式論的創始人，並在1883年的一篇短文中首先研究整函式的格與其泰勒展開的係數或者函式的絕對值的增長率之間的關係，成為整函式與亞純函式理論的開端。他最傑出的貢獻是創立了微分方程定性理論，他於1880—1886年發表的四篇大論文，使這一分支在一開始就發展到了幾乎完善的地步。1885年以後.他關於微分方程的論文都涉及天體力學，特別是三體問題，首創天體力學的嚴格處理方法，並因對三體問題的研究於1889年第一個獲得瑞典國王奧斯卡二世為“n體問題”設立的獎金。為了進一步研究線性微分方程，他對發散級數進行了深入討論，開創了漸近展開理論。在代數學中，他第一次引入了左理想與右理想的概念。1901年他的一篇數論論文成為有理數域(或代數數域)上的代數幾何學的開端。1901—1911年他關於代數曲面F(x，y，z)=0中所含的代數曲線的幾篇論文對代數幾何作出了突出貢獻。對代數拓撲學，他創造了單形的同調論的一整套方法，並由此引發了一系列重要結果.他又是數學基礎的直覺主義學派的先驅之一。此外，他對相對論和量子理論做出了具有啟發性的貢獻。他的科學哲學思想對20世紀眾多的科學家和哲學家產生了深遠的影響。他被譽為“理性科學的活躍智囊”，“本世紀初唯一留下的全才”，是對數學和它的套用具有全面知識的一個人。
