基本介紹
點陣動力學,作用力,非線性振動,量子化,歷史,實驗研究,熱力學性質,模型,相變和點陣振動,
點陣動力學
研究晶體中的原子在其平衡位置附近的振動及晶體性質與這些振動間的關係的學科。它是固體物理學的基本內容之一 。晶體中的原子（或離子、分子、原子集團）在空間作周期性排列，構成有序的點陣結構。在各個溫度下，晶體中的原子都在其平衡位置附近作不斷的熱振動，晶體的比熱容、熱膨脹、熱傳導和相變等巨觀熱現象都與這種熱振動有關，點陣動力學就是要研究晶體中這種熱振動的特徵，並與晶體的巨觀性質聯繫起來，還要進一步研究外加電磁場與晶體內部熱振動間的相互作用及由此而產生的各種效應。
點陣動力學
點陣動力學作用力
晶體中原子之間有相互作用力，故各原子的熱振動是相互聯繫的，這些相互聯繫的振動構成了晶體中的波動，稱為點陣波。由N個原子組成的晶體，共有3N個振動自由度，3N個振動模式。研究晶體內部運動的基本問題之一是求出所有可能存在的振動的本徵頻率 。 在點陣動力學的簡諧近似中，假定原子作簡諧振動，列出各原子遵守的動力方程，根據有解的條件可得晶體中存在兩種頻率，一種是低頻 振動（對應原子或分子的整體振動），是以普通聲波形式出現的彈性波，故稱為聲頻支；另一種是高頻振動（對應分子內部的振動），其頻率與紅外線的頻率相當，故稱光頻支。決定頻率分布也是重要的，因這直接涉及晶體的內能和比熱容，這通常由實驗測定，或利用簡單模型加以規定（例如德拜模型）。對諧振動或點陣波量子化後，就可求出晶體的內能和比熱容（見固體比熱容）。
點陣動力學
點陣動力學
點陣動力學點陣動力學
點陣動力學非線性振動
把原子看成是線性諧振子只是一種近似，實際上晶體的許多性質是由原子的非線性振動引起的。例如由於振動的非線性，溫度的改變將使振動的平衡位置發生變化，從而出現熱膨脹現象；又如點陣波間的相互作用也起因於非線性振動，點陣波的相互散射導致了熱阻的產生，可解釋晶體的熱傳導現象。
量子化
在量子理論中，原子的振動能量和點陣波的能量是量子化的，仿照光子概念，點陣波的能量量子稱為聲子，其能量為hγ（ h為普朗克常量，γ為點陣波頻率 ）。與光子一樣，聲子不僅具有能量，還具有質量和動量，是一種準粒子，它可與其他聲子或光子相互作用。原子振動能量的改變導致相應聲子的產生或消失。電磁波與點陣振動的相互作用可處理成光子-聲子相互作用 ， 例如光子與聲子的非彈 性碰撞產生拉曼散射或布里淵散射。晶體中的電子與點陣振動的相互作用可處理成電子-聲子相互作用 ，在相互作用過程中電子的能量和動量可轉移給聲子，相應地點陣振動能量躍遷到較高能級；反之，聲子的能量和動量也可轉移給電子，對應點陣振動能量躍遷到較低能級 。 這種電子-聲子相互作用是純淨的無缺陷金屬產生電阻的原因，也是超導電性的起因。導致晶體產生熱阻的點陣波間的相互散射可處理成聲子 -聲子的相互作用過程。
點陣動力學
點陣動力學
點陣動力學點陣動力學歷史
點陣動力學的研究始於20世紀初。1907年,A.愛因斯坦發表了題為“普朗克輻射理論與比熱的理論”的論文，他把N個原子組成的晶體,看作是3N個相互獨立的具有同一頻率的諧振子；並認為這些振子的能量也應按普朗克的理論量子化，從而說明在溫度趨於絕對零度時，晶體中由原子運動貢獻的比熱趨向於零這一實驗事實。愛因斯坦的工作不僅是點陣動力學的開始，而且在量子理論的發展上也起了重要作用。但他所得到的熱容公式在低溫下接近於零的趨向顯得比實驗結果快（見愛因斯坦模型）。P.J.W.德拜在1912年認識到，愛因斯坦熱容公式與實驗不大符合的原因在於沒有考慮到晶體中原子振動頻 率並不是完全相同的。德拜把晶體當成連續媒質來求得振子頻率分布，得到了更符合實驗結果的比熱容公式，德拜的理論能比較簡明地概括實驗材料，在推動點陣動力學的發展上，起過較大作用(見德拜模型)。同年,M.玻恩和T.von卡門發表了題為“論空間點陣的振動”的論文，提出晶體中的原子振動應以點陣波的形式存在。他們的論文包含了現代點陣動力學的大部分基本概念和原則，是點陣動力學的奠基性著作。從20年代到40年代，人們進一步完善了點陣動力學的基本理論；點陣振動對晶體的熱力學性質、熱傳導、電導、介電和光學性質、X射線衍射等方面的理論和實驗研究也發展了起來。這些都比較完全地總結在玻恩和黃昆的專著《晶體點陣的動力理論》一書中。50年代以來，點陣動力學在實驗研究上有了很大的進步，特別是利用中子非彈性散射直接測定點陣振動的色散關係（見點陣動力學的實驗研究方法）。
點陣動力學
點陣動力學
點陣動力學點陣動力學實驗研究
點陣動力學的實驗研究最主要的是直接測定點陣波的色散關係ωj(k)。晶體的許多性質都和函式ωj(k)有關,但能用以直接測定 ωj(k)的是利用電磁波或其他波與點陣波的相互作用。最重要的是中子非彈性散射──中子的德布羅意波與點陣波的相互作用。
點陣動力學
點陣動力學兩個波矢相差一個倒易點陣矢量的點陣波是等效的，因此可把點陣波的波矢 k的取值範圍限于波矢空間的特定的多面體,它稱為第一布里淵區。k的允許值取決於對解所加的邊界條件。很顯然,對足夠大的晶體來說,選擇不同的邊界條件對從解所得到的晶體的“體”的性質是不會有影響的。H.韋耳(1911)、W.萊德曼(1944)對此給出過嚴格的數學證明。通常,都採用玻恩和T.von卡門的做法，想像把晶體取成為每邊有L個元胞的立方體,要求該立方體相對的面上的解相等。這個邊界條件限制了波矢k的取值,m1、m2和m3是整數b1、B2和B3是點陣的倒易點陣的基矢。顯然，在第一布里淵區中k的取值可以有L3個,即這個立方體所包含的元胞數。每個k有3s個點陣波，因此共有 3sN(N=L3)個點陣波。晶體中任一個原子的運動可以用這3sN個點陣波的疊加來表達。注意到這個立方體中包含有sN個原子,有3sN個運動自由度；所以用點陣波來表達可以看作是對這個振動系統的一個坐標變換，從這個觀點，就很容易把點陣動力學的理論發展成為量子理論。
熱力學性質
但只基於簡諧近似來計算晶體的熱力學性質仍是不夠的（見非諧相互作用）。
點陣動力學
點陣動力學極性振動與晶體的介電性質和光學性質 離子晶體中，正負離子的相對位移會產生電偶極矩。長波的光頻模相應於元胞中原子的相對移動，可以按它是否產生電偶矩來把它區分為極性振動和非極性振動兩類。極性振動必定伴隨著巨觀的電磁場。因此，必須同時考慮點陣運動的方程和電磁場的方程。黃昆(1951)最先對立方晶體元胞中有兩個離子的情況作了系統的處理。這時，應有三個光頻支:一個縱波和兩支橫波,都是極性振動。縱波與橫波有一個顯著不同，縱波會產生束縛電荷，出現巨觀的庫侖場，所以長波的縱光頻支比 橫光頻支有較高的頻率。可以證明，在這種情況，波矢趨於零的縱光頻支頻與橫光頻支頻之間有下列關係 ， (13)
點陣動力學
點陣動力學ε(0)是晶體的靜電介電常數。ε(∞)是頻率遠高於點陣振動頻率時的介電常數。這關係稱為 LST關係。
模型
橫波則能與外來的電磁波耦合，對點陣的介電性質有貢獻。電磁波和橫向極性振動的耦合產生了新的耦合模式，它是電磁波與點陣波的耦合模，稱為極化激元。這是黃昆所首先引入的概念。圖4是實驗上測量得到的磷化鎵中點陣振動的色散關係。虛線是不考慮這個耦合時的色散關係，實線是耦合模式的色散關係。
點陣動力學
點陣動力學點陣振動的色散關係與力模型 50年代以來，有了準確測定整個布里淵區中點陣波的色散關係 ωj(k)的方法（見點陣動力學的實驗研究方法），由此提供了定量地檢驗這些理論的可能性。除了求解的數學技巧外，這中間最主要的是關於點陣原子間的相互作用的力模型。
最易想到的是所謂“剛性離子”模型，把晶體勢看作是各對原子之間的勢能之和，並認為它只決定於這個原子之間的距離：
對微小位移偏離作展開，每對原子之間便有兩個力常數──徑向的和切向的。經驗證明，對固態惰性元素和簡單金屬來說，適當選擇力常數，剛性離子模型能給出與某些實驗相當符合的結果。從嚴格的剛性離子模型出發，可導出彈性常數應滿足柯西關係；但對多數金屬（包括鹼金屬）來說，柯西關係都符合得相當不好。所以需要對這問題作進一步研究。
對離子晶體和價鍵晶體,經驗證明,殼層模型更合適一些。它把每個原子（離子）看作是由一剛性的“實”和一帶電的“殼”組成，實和殼之間近似地由一各向同性的力常數表征其 聯繫；同一原子的實和殼之間也可相對移動；不同原子之間的相互作用則包括各自的實和殼相互之間的各種組合。殼層模型是一個唯象的模型。從能帶論和多體理論的觀點也提供了它的適用性的一定理論基礎。
點陣動力學
點陣動力學
點陣動力學點陣動力學相變和點陣振動
F.林德曼(1910)曾提出，固體的熔化發生在點陣振動的平均振幅與原子之間的距離可以比擬的情況下。實驗數據表明這個觀念有一定的合理性，同一類固體的這個比例還常常是差不多的。但一個嚴格的關於熔化與點陣振動之間的關係的理論還沒有建立起來。在結構相變（見固體中的相變）中，點陣振動起著關鍵的作用。
點陣動力學
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