高維隨機覆蓋問題及其在動力系統中的套用

《高維隨機覆蓋問題及其在動力系統中的套用》是依託華南理工大學，由李兵擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：高維隨機覆蓋問題及其在動力系統中的套用
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：李兵
• 依託單位：華南理工大學

項目摘要

隨機覆蓋問題源於Borel對隨機級數收斂性的研究,經典模型為圓周上的隨機覆蓋，即考慮被圓周上的一列隨機區間覆蓋無窮多次的點集E（常被稱為覆蓋集）及其餘集F，這兩類集合均是隨機集，人們分別從拓撲、測度、維數等方面研究這兩個集合的結構和大小，並對其它性質也進行了研究，如擊中機率等，現逐步與分形幾何、動力系統、機率論等領域結合起來。本項目研究的是高維自仿隨機覆蓋、高維Possion覆蓋及動力系統型覆蓋等問題，將對這些模型中的隨機集E和F的Hausdorff維數、Packing維數、投影及擊中機率中的0-1律進行研究，希望建立隨機覆蓋集與自仿集、limsup型隨機分形之間的聯繫，使用這兩類分形中已有的工具更精細地描述集合E，並尋找Kahane開問題的答案，即給出用隨機正方體或球覆蓋時torus中每點均被覆蓋的充分必要條件，同時，尋找滿足指數混合性的動力系統種類和研究該類動力系統的覆蓋行為。

結題摘要

隨機覆蓋問題源於Borel對隨機級數收斂性的研究，經典模型為圓周上的隨機覆蓋，即考慮被圓周上的一列隨機區間覆蓋無窮多次的點集E（常被稱為覆蓋集）及其餘集F，這兩類集合均是隨機集，人們分別從拓撲、測度、維數等方面研究這兩個集合的結構和大小。我們研究了隨機覆蓋集E的擊中機率問題，得到了此機率的一個0-1律，並給出E與一個給定的非隨機集G的交集的Hausdorff維數的上、下界估計，而且證明了該上、下界是最佳的。我們也考慮了高維的隨機覆蓋問題，得到了自仿隨機覆蓋集的Hausdorff維數，該維數是通過奇異值函式給出的，並考察了覆蓋集到低維空間的投影等幾何特徵。動力系統的收縮靶和覆蓋問題也是本項目的研究重點，我們集中研究了連分數和beta-變換動力系統，得到了連分數動力系統的回覆集的Hausdorff維數，也考慮了beta-變換中參數集中的逼近集的Hausdorff維數。同時我們也研究了一個關於是否有自仿疊代函式系滿足Falconer-Sloan條件的一個開問題，我們不僅僅對此開問題給出了正面的回答，而且證明了滿足這個條件的疊代函式系在歐式空間中是稠密的、開的、滿Lebesgue測度的。