《隨機動力系統的逼近和跑出問題》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由申俊擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：隨機動力系統的逼近和跑出問題
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：申俊
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究隨機動力系統的逼近和跑出問題。由於隨機問題的不確定性，研究帶有乘性白噪音的隨機微分方程，我們不僅需要大量隨機分析的理論，而且套用起來非常不方便。與前人討論了隨機微分方程的Wong-Zakai逼近和數值解不同，本項目考慮一種受布朗運動驅動的無界隨機受迫。我們研究這種噪音驅動下的新系統，討論它的軌道、光滑不變流形、不變葉層和吸引子等與原系統的關係，即給出是逐點收斂或者一致收斂的條件。這樣新系統就可以作為原系統的一個逼近系統。但與原系統不同，它可以作為一個帶有隨機參數的微分方程，允許我們逐點研究其定性性質。因此與原系統相比，它分析起來更為方便。至於跑出問題，我們將考慮兩方問題，其一是帶有隨機白噪音擾動的系統，我們研究其軌道跑出確定系統不變流形鄰域的機率；其二就是對於逼近系統，我們可以研究他們的大偏差估計和跑出平衡點、吸引子或者不變流形的機率與原系統的關係。
結題摘要
本項目主要研究了高維和無窮維隨機微分方程的Wong-Zakai逼近。眾所周知，由於隨機問題的不確定性，研究帶有乘性白噪音的隨機微分方程，我們不僅需要大量隨機分析的理論，而且套用起來非常不方便。本項目考慮一種受布朗運動驅動的無界隨機受迫, 我們已經證明：對於這種噪音驅動下的新系統，它的軌道是均方一致收斂到原隨機微分方程的軌道，它的不變流形和不變葉層是逐點光滑收斂到原方程的不變流形和不變葉層。而新系統的好處是它的解生成一個隨機動力系統，允許我們逐點研究其定性性質，特別是對於無窮維的隨機微分方程，在一般的非線性乘法噪音驅動下，解是不是生成隨機動力系統，至今仍是一個公開問題。這樣，利用新噪音代替白噪聲，對於原隨機微分方程的研究提供了一個可行的方法。儘管如此，對於跑出問題我們也進行了嘗試，發現新噪聲驅動也有缺點，破壞了原方程解的Markov性，導致從隨機角度進一步研究新噪音的出現極大的困難，這方面的研究工作還有待繼續。另外，我們也發現利用有色噪聲代替白噪聲，同樣可以獲得解和動力學行為的逼近。
