《高效能間斷有限元方法若干問題研究》是依託東北大學，由張鐵擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：高效能間斷有限元方法若干問題研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：張鐵
- 依託單位：東北大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
有限元方法是現代科學與工程計算領域中最重要的數值方法之一，間斷有限元方法則是傳統（連續）有限元方法的創新形式，改進和發展。目前，間斷有限元方法已經廣泛套用於求解各類偏微分方程定解問題，但相對於連續有限元方法，其數值理論還不成熟，一些難點和熱點問題有待解決。本項目將研究數值求解橢圓問題和一階雙曲方程組的高效能(即高精度、高效率)間斷有限元方法。主要研究高維橢圓問題和一階雙曲方程組的具有局部顯式和半顯式結構，或者可降維的間斷有限元方法的構造和理論分析；間斷有限元解的高精度的後處理技術；新型的後驗誤差分析方法和自適應計算等。目標是構造出新型、高效的間斷有限元方法，給出系統的理論分析，建立有效的後驗誤差估計和自適應算法，並編制出數值算法應用程式。本項目研究將有所創新和發展間斷有限元數值理論，建立若干高精度和高效率的間斷有限元方法，為解決科學與工程實際問題提供可靠和有效的數值計算手段和理論分析支撐。
結題摘要
在科學與工程計算領域中，許多問題都歸結為偏微分方程數值求解，有限元方法是求解偏微分方程的主流數值方法之一，間斷有限元方法則是傳統(連續)有限元方法的創新形式、改進和發展。本項目研究數值求解橢圓方程和一階雙曲方程組的高效能(即高精度、高效率)間斷有限元方法。目標是構造出新型、高效的間斷有限元格式，給出系統的理論分析，建立有效的後驗誤差估計和自適應算法。本項目研究成果為解決相關的科學與工程實際問題提供了有效和可靠的數值計算手段和理論分析支撐。本項目取得的主要研究成果如下。1 對變係數一階雙曲方程，得到了最優階的誤差估計，導出間斷有限元解的有效和可靠的後驗誤差估計。針對正對稱一階雙曲方程組，構造了具有半顯式結構的時空間斷有限元格式，提高了計算精度和效率。對k次間斷有限元解得到了後處理解的2k+1階超收斂估計。2 對第二類橢圓變分不等式，給出了間斷有限元方法的最優誤差估計和後驗誤差估計。對於橢圓邊值問題的雙線性間斷有限元方法，建立了插值基本估計，提出了導數小片插值恢復技術，得到梯度近似的超收斂估計，並導出漸近準確的後驗誤差估計。3 對於橢圓邊值問題的雙線性矩形和四邊形有限體積元方法，建立了插值基本估計，提出導數小片插值恢復技術，得到梯度近似的超收斂估計，並導出漸近準確的後驗誤差估計。對於線性和雙線性有限體積元方法，證明了格線節點是插值逼近的最優應力佳點，並得到了在格線節點處梯度逼近的最大模超收斂估計。4 首次提出了一維橢圓問題的弱有限元方法，給出了弱有限元方法的定義和格式的構造，導出最優誤差估計和格線節點處超收斂估計。對二維橢圓邊值問題的弱有限元方法，建立了後驗誤差估計技術，導出了有效和可靠的後驗誤差估計。建立了穩定的求解Stokes問題的弱有限元格式並導出最優速度和壓力誤差估計。首次將弱有限元方法套用到非線性問題：Navier-Stokes問題，證明了弱有限元解的唯一存在性、穩定性和最優誤差估計。5 建立了一些有效的求解離散非線性方程的多點疊代法，給出了計算效率和收斂性分析。
