《KdV和雙曲方程基於一般數值流通量的間斷有限元方法》是依託哈爾濱工業大學，由孟雄擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：KdV和雙曲方程基於一般數值流通量的間斷有限元方法
- 依託單位：哈爾濱工業大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：孟雄
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本課題旨在研究求解 KdV和雙曲方程基於一般數值流通量間斷有限元（DG）方法的先驗誤差估計及超收斂理論，主要內容包括以下三個方面：(1) 對於三階 KdV方程，研究基於一般偏迎風數值流通量和廣義交替數值流通量局部 DG 方法的最優誤差估計；(2) 對於一階線性雙曲方程，研究基於偏迎風數值流通量 DG 方法關於 Radau點、區域平均和誤差特殊投影的超收斂性；(3) 對於一階線性和非線性雙曲方程，研究基於一般數值流通量 DG 方法關於提高精度的局部後處理技巧的超收斂性。在理論分析中，全局投影的構造和分析、修正函式的構造以及負模誤差估計是解決問題的關鍵。擬通過本項目的研究，解決雙曲和 KdV方程的算法設計與分析等問題，建立波動方程 DG方法的收斂性及超收斂性理論框架，不僅對提高 DG方法的計算效率具有很大的理論價值，而且對更多流體力學問題的高精度計算有很強的實用價值和科學意義。
結題摘要
作為一類求解對流占優問題的高精度數值方法，間斷有限元（DG）方法以其計算有效性和靈活性發揮了愈來愈大的作用。眾所周知，構造DG格式的核心在於數值流通量的選取，並且數值流通量對於格式的穩定性、最優誤差估計和超收斂等有著決定性影響。本課題以KdV和雙曲方程為主要研究對象，系統探究了一般數值流通量DG方法的穩定性和最優誤差估計。具體而言，主要得到了以下重要研究成果，（1）對於變係數線性雙曲方程，討論了退化變係數的一般情形方程，嚴格證明了當使用偏迎風數值流通量DG方法的穩定性及最優誤差估計。為證明最優誤差估計，全局非耦合投影的構造與分析尤為關鍵，此工作被Journal of Scientific Computing接收，待發表。（2）針對二階對流擴散方程，討論了關於對流流通量和擴散流通量不同參數的一般情形，並通過對全局投影進行修正，最終得到一維及多維的最優誤差估計結果。對於帶有兩個參數的數值流通量分析，修正全局投影的設計與分析尤為重要，此工作發表於Mathematics of Computation.（3）以線性化的三階KdV方程為研究對象，考慮了當使用帶有三個獨立參數數值流通量的局部DG方法，此工作已投稿至Mathematics of Computation. 為探究三個數值粘性所帶來的複雜性，在穩定性分析中著重分析了最小數值粘性係數、最大數值粘性係數及其之間的內在聯繫，並利用二次函式的理論得到了關於主要變數、輔助變數及其時間導數的一致穩定性結果。所得的結果一方面表明了全局投影及修正全局投影對於處理一般數值流通量的有效性，豐富了基於廣義數值流通量DG方法的理論框架，另一方面也為間斷解的模擬提供了更小數值粘性的數值流通量，因而對於科學計算具有很強的理論意義及實用價值。
