馬氏過程位勢論

馬氏過程位勢論是機率位勢論的一個重要模式，能用來推廣布朗運動的相應研究。

基本介紹

• 中文名：馬氏過程位勢論
• 外文名：potential theory for Markov processes
• 適用範圍：數理科學

簡介

馬氏過程位勢論是機率位勢論的一個重要模式，是布朗運動相應研究的推廣。

α階位勢

設{X_t,𝓕_t,t∈T=[0,+∞)}為以(E_∂,𝓑_∂)為狀態空間的亨特過程，其中E_∂為局部緊可分度量空間E的單點緊緻化，𝓑_∂為E的波萊爾域𝓑與單點{∂}生成的σ域，記{P_t}為相應的馬爾可夫轉移半群。設f≥0為E上定義的𝓑可測函式，對α≥0，定義

為α階位勢（當α=0時常記為Uf，稱為位勢），稱U^α為α階位勢核。

超過函式

若對t∈T恆有f≥e^(-αt)P_tf且當t↓0時，lime^-αtP_tf=f，則稱f是α超過函式，α=0時稱為超過函式。

超過函式類是位勢論中非負上調和函式類的深刻推廣。對於超過函式f和任意β>0，存在非負有界的𝓑可測函式列{g_n}，使得U^βg_n↑f；若設馬氏半群{P_t}為非常返時，這一結論對β=0也成立。

據此，許多有關超過函式的問題都可化成關於β階位勢的相應問題來處理。

套用

類似於布朗運動，一般馬氏過程也可定義首中時間、退出時間、首中分布、正則點、極集等概念並進而討論掃除、平衡問題等位勢論的概念與性質。

也有從機率大立場出發研究狄利克雷問題與馬丁積分表示的工作，特別關於馬氏鏈的位勢論，不論過程常返與否，都有較深刻的研究。