面積坐標

面積坐標

三角形面積坐標是一種自然坐標，在有限元分析中一般用它來構造三角形單元的插值函式。隨著有限元理論的發展，也出現了四邊形單元的面積坐標等方法和理論。

基本介紹

  • 中文名：面積坐標
  • 外文名：Area coordinates
  • 有向面積：頂點按逆時針方向排列的面積為正
  • ⊿ABC幾心：5心
  • 規範面積坐標：M(μ1：μ2：μ3)
定義,點的面積坐標符號,

定義

平面上任取一個⊿ABC，充當坐標三角形，對於平面ABC上任意一點M，將下述三角形面積比 S⊿MBC：S⊿AMC：S⊿ABM=
：
：
叫做點M關於⊿ABC的面積坐標(或重心坐標)，記作：M= (
：
：
)={
，
，
}。
註：這裡的面積 S⊿MBC，S⊿AMC，S⊿ABM都是有向面積。通常約定，頂點按逆時針方向排列的三角形面積為正，頂點按順時針方向排列的三角形面積為負，故各個坐標分量
，
，
都是可正可負的。
由定義可知，某個點M的面積坐標既可記為 (
：
：
)，也可記為 (k
：k
：k
)（k≠0）。也就是說，一個點的面積坐標記法並非唯一，他們可以相差一個非0的常數因子，因此這類坐標屬於齊次坐標，笛卡爾直角坐標不屬於齊次坐標。
當
+
+
=1時，面積坐標 (
：
：
)稱為規範面積坐標。
三角形中任一點P與其3個角點相連形成3個子三角形，以原三角形邊所對應的角碼來命名此3個子三角形的面積，即
面積為
，
面積為
，
面積為
。P點的位置可有3個比值來確定，即
P(
，
，
）
其中
A是三角形的面積，因此有
+
+
=1
稱
，
，
為面積坐標。

點的面積坐標符號

設點M(
：
：
)是規範面積坐標：
1）如果點M(
：
：
)在三角形內部，那么
、
、
屬於開區間 (0,1)；
2）如果一點在三角形的邊上，至少有一個面積坐標 為 0，其餘分量位於閉區間 [0,1]；
3）如果有某個坐標小於 0，則位於三角形外部。
例 以a、b、c分別表示⊿ABC三角A、B、C所對的邊，
，
，
等等。
則⊿ABC的“五心”的面積坐標如下：
重心：
；
內心：
（
：
：
）；
旁心：
，余類推；
垂心：
；
外心：
。

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