基本介紹
- 中文名:非退化矩陣
- 外文名:non-degenerate matrix
- 別名:非(奇)異矩陣,滿秩矩陣等
- 特點:n階方陣A的行列式|A|≠0
- 充要條件:A是非退化充要條件為A是可逆矩陣
- 所屬學科:數學
基本介紹,相關結論,
基本介紹
先引進逆矩陣的概念。
對給定的矩陣A,如果存在矩陣B,使成立

可以看出,只有方陣才可能有逆矩陣,而且可以證明,對方陣A,B,若AB=I,則必BA=I,故今後在討論方陣時,只要成立AB=I或BA=I就可以說明A,B互為逆陣了。
相關結論
定理 如果A是非退化陣,則其逆陣是惟一的。
證: 可用同一法證明結論。設
是對非退化陣A的適合式(1)的任意兩個矩陣,則必有
。事實上,根據
以及下文式(2),有




在證明過程中巧用式(2)以及式(1)的做法,稱之為單位陣技巧,這是在證明矩陣等式中時常有用的一種技巧,
由於可逆陣A的逆陣為惟一確定,故可記之為
,有


這樣,由逆陣概念可容易地推知,單位陣必為非退化陣,且其逆陣即為自身,即有

定理 對m×n矩陣A,有



在有可能用上這些明顯等式時,能簡化矩陣乘法的運算過程。
由於矩陣乘法是滿足結合律的,在一個方陣自乘若干次的情形,使用冪指數的記號是既合理又可帶來便利的。若k是個自然數,定義(規定
)



結論 一個n×n矩陣是非退化的充要條件是它的秩等於n。
推論 設A,B都是數域F上的n×n矩陣,矩陣AB為退化的充要條件是A,B中至少有一個是退化的。
證明 AB為退化學




或
A退化或B退化。







