基本介紹
- 中文名：非標準拓撲
- 外文名：nonstandard topology
- 領域：數學
- 性質：拓撲學
- 定義：非標準全域中展開的拓撲學
- 意義：使拓撲學的基本概念更加直觀
簡介,定義,非標準全域,拓撲學,
簡介
非標準拓撲(nonstandard topology)是在非標準全域中展開的拓撲學。正像使用無限小數和無限大數可使微積分的基本概念更加直觀，推理更加簡明一樣，在非標準全域中展開拓撲學，使用單子及飽和性可使拓撲學的基本概念更加直觀，推理更加簡明。
定義
設(X，τ)是一個拓撲空間，其中X是任一非空集合，τ是X上的拓撲(τ是X的一些子集構成的族，空集和全集X屬於τ，並且τ對有限交和任意並封閉)。設空間X及實數集合R都是標準全域*V(S)的個體集S的子集。並設相應的非標準全域V(S)是多飽和的，即基數不超過標準全域*V(S)的基數並且具有有限交性質的內集族的全交非空。更確切地說，若Aj∈V(S)，{Aj}j∈J具有有限交性質，並且J的基數≤card V(S)，則∩{Aj}j∈J≠∅。此時，X在*V(S)中的自然擴張*X是X的一個合適的非標準模型。設a∈X，則*X的子集：
M(a)=∩{*O|a∈O並且O∈τ}
稱為a的單子。若x∈M(a)，則稱x近於a或近標準於a。.所有近標準點的集合記為：
ns(*X)={x∈*X|∃a∈X，x∈M(a)}.
用單子可以成功地描述“鄰近”這個概念。由開集的定義可知，一個集合是開集若且唯若它的每一個點是它的內點(點a為集合A的內點，若且唯若A是a的一個鄰域，即存在O∈τ，使得a∈O⊂A)，這反映了開集是包含它的每一個點的“鄰近”所有點的集合。使用單子概念，可以更直觀地說成：集合A是開集若且唯若*A中的每個標準點的單子包括*A中，即設A⊂X，A是開集若且唯若ᗄa∈A，M(a)⊂*A。事實上，若A是開集並且a∈A，則由單子的定義，M(a)⊂*A。反之，若A不是開集，則存在a∈A，a不是A的內點，即a的每個開鄰域O與A的余集的交非空：O∩A≠∅。顯然集族：
具有有限交性質。由多飽和性。
這個集合中的任一元素屬於M(a)，但不屬於*A。
再如函式的連續性，它的直觀意義是把鄰近的點映為鄰近的點。標準的定義如下：設(X，T)，(Y，U)是兩個拓撲空間，f：X→Y，f在點a連續，若且唯若對任意的U∈U(f(a))(f(a)的鄰域系)，存在T∈T(a)(a的鄰域系)，使得f(T)⊂U.這類似於用ε-δ來描述實連續函式。使用單子及飽和性可直接陳述為：f在點a連續，若且唯若：f(M(a))⊂M(f(a))，即把單子映到單子內。非標準方法在研究拓撲空間的緊性方面有更大的優點。可以證明，拓撲空間X是緊的若且唯若X的所有點是近標準點。這就把開集覆蓋的性質轉化為點集的性質.利用這個性質，很容易證明與緊性有關的定理，例如，吉洪諾夫定理——緊空間的乘積仍是緊空間。
非標準全域
非標準全域是標準全域的非標準模型。它是另一個超結構的子集。設U=V(S)是一個以S為個體集的標準全域，I為指標集(I可取自然數集或更大的集合)，U為I上的一個自由超濾子，S是I到S的一切函式(I-序列)之集，即S={{ai}|ai∈S}，其中{ai}表示I到S的一個函式f：I→S，f(i)=ai(i∈I).在S上定義等價關係：{ai}～{bi}若且唯若{i∈I|ai=bi}∈U.這個等價關係簡單地寫成ai=bi，a.e..令S=S/～，以S為個體集的超結構記為V(S)。
標準全域U=V(S)的非標準全域U=V(S)是V(S)的一個子集，它的元素按如下方式歸納地選自V(S)。設{Ai}是V(S)中元素的一個I序列，若存在一個p∈N，使得Ai∈Vp(S)(i∈I)，則稱序列{Ai}是有界的。若序列{Ai}是有界的，則存在一個最小的j∈N，使得{i|Ai∈Vj(S)}∈U，這個j稱為序列{Ai}的秩。對於每個有界序列{Ai}，可以按秩歸納地選取一個元素A∈V(S)，並記A=〈Ai〉：若{Ai}的秩為0，令A=〈Ai〉，即S中的一個元素。假設對於秩小於j的每個序列{Bi}已經定義了對應的元素〈Bi〉，並且{Ai}的秩為j，則定義〈Ai〉={〈Bi〉|{Bi}的秩小於j，並且Bi∈Ai，a.e.}。這樣就完成了非標準全域U=V(S)的定義。V(S)中的元素稱為內的，V(S)\V(S)中的元素稱為外的.由上述定義，S中的元素都是內的，因而沒有外的個體。上述構造非標準全域的方法稱為超冪構造。
非標準全域也可用公理方法建立如下。設V(S)和V(S)分別是以S和S為個體集的兩個超結構，嵌入映射：V(S)→V(S)滿足如下兩條公理：
擴張原理 S是S的真擴張，即S⫋S，並且對於每個a∈S，有a=a。
轉換原理 標準全域的語言L(V(S))中的句子φ在V(S)中為真，若且唯若它的-轉換φ在V(S)中為真。φ是把φ中出現的常元符號a全部換成它的-像的符號a得到的句子。.若A∈V(S)\S，則A稱為標準集合，V(S)中的元素是內的，若且唯若它是某個標準集合的元素。所有內的元素構成的集合記為V(S)，它就是標準全域V(S)對應的非標準全域。
拓撲學
現代數學的重要的分支學科。它研究幾何形體在連續形變，精確地說，雙方一一而且雙方連續的變換(稱為同胚)之下保持不變的性質。理解的廣泛些，它是研究數學中連續性現象的學科。
拓撲學萌芽很早，但直到19世紀末才開始從不同的方面正式形成學科。20世紀末，拓撲學已發展為現代數學的一個龐大的學科，包括作為現代數學的基礎的拓撲空間理論為核心內容的一般拓撲學，運用抽象代數的概念和方法為工具的代數拓撲學，進而派生出以流形為主要對象的微分拓撲學以及幾何拓撲學等方面。拓撲學可簡稱為拓撲，但拓撲一詞還可作為拓撲空間中的拓撲結構理解。
拓撲學最初被稱為形勢幾何學(geometria situs)，這是萊布尼茨(Leibniz，G.W.)於1679年提出的，他預見到現在所稱的組合拓撲學。最早為人所知的拓撲學定理可能是所謂的歐拉公式。歐拉(Euler，L.)於1750年發表了任何閉的凸多面體的頂點數v，棱數e和面數f有關係v-e+f=2。用現代說法，它是一個拓撲不變數，稱為歐拉示性數。據史學家考證，笛卡兒(Descartes，R.)在1639年就知道它，並且萊布尼茨通過笛卡兒未發表的手稿於1675年得知這一結果。另一著名的結果是哥尼斯堡七橋問題的解決，歐拉在1736年將問題表成能否一筆畫一個給定的圖，並給出了一般性的解答.德國數學家高斯(Gauss，C.F.)於1827年得到曲面上曲率的積分與歐拉示性數的關係，他於1823年在電動力學中用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環繞數。利斯廷(Listing，J.B.)於1848年第一次採用了拓撲學一詞，其實他認為寧願用形勢幾何，只是已被別人采作他用。黎曼(Riemann，B.)於1851年定義了黎曼面，引進了連通性和虧格，實際上解決了可定向閉曲面的分類問題，給拓撲學的建立以巨大的推動。1858年，默比烏斯(Mo¨bius，A.F.)和利斯廷獨立地發現了單側的曲面，現被更確切地稱為不可定向曲面。默比烏斯於1863年恰當地指出形勢幾何學的定義。貝蒂(Betti，E.)於1870年定義了高維的連通性。若爾當(Jordan，C.)於1887年提出曲線定理，但證明是錯的，直到1905年才得證。
拓撲學正式成為一門獨立的學科是龐加萊(Poincaré，H.)實現的。他於1892年發表了題為“論形勢分析”的短文，然後於1895年發表了題為“形勢分析”的120頁的長文，介紹它的概念，其中有同調、貝蒂數、相交、基本群，甚至隱含著上同調；建立了對偶定理和歐拉-龐加萊公式。隨後直到1904年，他連續發表了五篇補充，為改進前述長文中的缺點創立了剖分方法，定義了撓係數，開始探討三維流形的拓撲分類，構造出基本群不平凡而一維貝蒂數平凡的三維流形，並提出了著名的至今尚未解決的龐加萊猜想：基本群平凡的三維閉流形同胚於三維球面。這幾篇文章奠定了組合拓撲學的基礎，其思想之豐富，觀念之深刻，影響之深遠，一言難盡，但不夠嚴密或缺乏證明，後來的進展正是從此入手，將這門學科建立在嚴格的邏輯上而發展為後來的組合拓撲學、代數拓撲學，進而發展出微分拓撲學等學科和分支。
