非常豐富除子

非常豐富除子(Very ample invertible sheaf (or line bundle, or divisor)) 是代數幾何中最重要的一類對象。

基本介紹

  • 中文名:非常豐富除子
  • 外文名:Very ample invertible sheaf
  • 對象代數幾何中最重要的一類對象
  • 意義有理映射
滿足條件
Proper(對應於復幾何中的緊緻性)的代數簇X上的除子L稱為非常豐富除子, 如果它定義的有理映射滿足以下條件:
1. 這個映射態射, 也就是說它是處處有定義的;
2.這個映射是單射
3.這個映射可以區分每一點上的切向量。 換句話說, 一個點上的兩個不同的切向量, 在這個映射下不會映成同一切向量
註:a) 一般的,invertible sheaf L 是非常豐富的,若且唯若存在immersion(嵌入,即開嵌入和閉嵌入的複合) f: X----> P^N (某射影空間),使得L同構於O(1)的拉回。
b)上述條件中,1等價於L是由整體截面生成的(generated by global sections);1,2,3等價於L定義的態射是閉嵌入(closed immersion)。和a)的等價性在於,proper的概形(scheme)在態射下的像是閉的。
有一個非常豐富除子的proper代數簇必定是射影代數簇,反之亦然。 這是因為相應的有理映射給出了它到射影空間的一個閉嵌入
需要注意的是,very ample invertible sheaf是一個相對的概念(與immersion有關)。與之相對應的絕對概念是豐富除子(ample invertible sheaf)。定義是,invertible sheaf L 是概形(Scheme)X 上的ample invertible sheaf 若且唯若 任給一個X上的凝聚層(coherent sheaf)F, 存在自然數n_0,使得任何n>n_0, F tensor L^(tensor n) 是由整體截面生成的(generated by global sections)。
兩者之間的關係是:L ample 若且唯若 存在充分大的n, 使得L^(tensor n)是very ample的。
例子:1. 光滑射影代數曲線上的除子 D 是ample當且且僅當 deg(D) > 0。
2. 光滑射影代數曲面上的除子 D 是ample 若且唯若 D.D>0 且 任何一條曲面上的不可約代數曲線C, D.C > 0。
3. 一個ample但不very ample的例子:橢圓曲線上對應一個點的invertible sheaf。
注意:關於invertible sheaf (秩為一的局部自由層),divisor和line bundle的等價性的討論,可以參見Hartshore Chapter 2.5 2.6。

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