非常豐富除子

非常豐富除子(Very ample invertible sheaf (or line bundle, or divisor)) 是代數幾何中最重要的一類對象。

基本介紹

• 中文名：非常豐富除子
• 外文名：Very ample invertible sheaf
• 對象：代數幾何中最重要的一類對象
• 意義：有理映射

滿足條件

Proper（對應於復幾何中的緊緻性）的代數簇X上的除子L稱為非常豐富除子， 如果它定義的有理映射滿足以下條件：

1. 這個映射是態射， 也就是說它是處處有定義的；

2.這個映射是單射；

3.這個映射可以區分每一點上的切向量。 換句話說， 一個點上的兩個不同的切向量， 在這個映射下不會映成同一切向量。

註：a) 一般的，invertible sheaf L 是非常豐富的，若且唯若存在immersion(嵌入，即開嵌入和閉嵌入的複合) f: X----> P^N (某射影空間)，使得L同構於O(1)的拉回。

b）上述條件中，1等價於L是由整體截面生成的（generated by global sections）；1,2,3等價於L定義的態射是閉嵌入（closed immersion）。和a)的等價性在於，proper的概形（scheme）在態射下的像是閉的。

有一個非常豐富除子的proper代數簇必定是射影代數簇，反之亦然。 這是因為相應的有理映射給出了它到射影空間的一個閉嵌入。

需要注意的是，very ample invertible sheaf是一個相對的概念（與immersion有關）。與之相對應的絕對概念是豐富除子（ample invertible sheaf）。定義是，invertible sheaf L 是概形（Scheme）X 上的ample invertible sheaf 若且唯若 任給一個X上的凝聚層（coherent sheaf）F， 存在自然數n_0，使得任何n>n_0, F tensor L^(tensor n) 是由整體截面生成的（generated by global sections）。

兩者之間的關係是：L ample 若且唯若 存在充分大的n, 使得L^(tensor n)是very ample的。

例子：1. 光滑射影代數曲線上的除子 D 是ample當且且僅當 deg(D) > 0。

2. 光滑射影代數曲面上的除子 D 是ample 若且唯若 D.D>0 且 任何一條曲面上的不可約代數曲線C， D.C > 0。

3. 一個ample但不very ample的例子：橢圓曲線上對應一個點的invertible sheaf。

注意：關於invertible sheaf (秩為一的局部自由層)，divisor和line bundle的等價性的討論，可以參見Hartshore Chapter 2.5 2.6。