《非局部模型的自適應算法研究》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由趙旭鷹擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：非局部模型的自適應算法研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：趙旭鷹
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
非局部特性在真實世界中是普遍存在的。因此，很有必要研究相應的非局部模型，包括非局部材料模型和非局部擴散模型，這將具有重大的實際意義。如何快速有效的求解非局部模型是當今科學計算領域一個重要的前沿課題。自適應有限元方法作為求解偏微分方程最有效的數值方法之一，是當前科學計算研究的熱點。因此，本課題的主要目的是研究非局部模型的自適應有限元算法和相關數值分析，這對於探索非局部模型的高效數值求解算法，以及開發非局部模型的數值計算軟體包，都有重要的指導意義。本項目主要內容包括：研究含奇異積分核的非局部模型的有限元後驗誤差分析及自適應算法的收斂性分析；提出投影型後驗誤差分析方法並研究含超強奇異積分核的非局部模型的自適應有限元方法；建立投影型後驗誤差分析方法的一般性框架，同時將其套用到其它一些問題，並揭示其與殘量型後驗誤差估計子之間的關係。
結題摘要
非局部特性在真實世界中是普遍存在的。因此，很有必要研究相應的非局部模型，這將具有重大的實際意義。如何快速有效的求解非局部模型是當今科學計算領域一個重要的前沿課題。自適應有限元方法作為求解偏微分方程最有效的數值方法之一，是當前科學計算研究的熱點。因此，研究非局部模型的自適應有限元算法和相關數值分析，對於探索非局部模型的高效數值求解算法，以及開發非局部模型的數值計算軟體包，都有重要的指導意義。本項目研究了含奇異積分核的非局部擴散模型的有限元後驗誤差分析及自適應算法的收斂性，這是非局部模型研究領域第一個自適應算法的收斂性結果。本項目進一步揭示出當格線尺寸不大於作用域半徑的六分之一時，自適應有限元算法不依賴於作用域半徑！這是目前該領域第一個數值結果與作用域半徑依賴關係的定量結果。本項目還提出了投影型後驗誤差估計方法並建立了含超強奇異積分核的非局部擴散模型的有限元後驗誤差估計。此外，對於核函式可積的非局部擴散模型，本項目改進了現有的後驗誤差結果。
