霍特林統計量

設X～N_p(μ，∑)，S～W_p(n，∑)，且X與S相互獨立，n≥p，則稱統計量T²=nX'S^-1X的分布為非中心Hotelling T²分布，記為T²～T²(p，n，μ)。當μ=0時，稱T²服從(中心)Hotelling T²分布，記為T²(p，n)，由於這一統計量的分布首先由Harold Hotelling提出來的，故稱Hotelling T²分布，值得指出的是，我國著名統計學家許寶碌先生在1983年用不同方法也導出T²分布的密度函式。

基本介紹

• 中文名：霍特林統計量
• 外文名：Hotelling statistic
• 所屬學科：數學（統計學）
• 別名：T2統計量、Hotelling統計量
• 提出者：Harold Hotelling

基本概念

設是獨立的隨機向量，分別為來自的樣本均值與樣本協差陣，則有以下定義。

定義1

稱為Hotelling的T²統計量，m，n為自由度，為總體均值,當=0時，T²統計量常簡記為T²(m，n)，它的分布稱為T²分布，記作：T²～T²(m，n)。

T²統計量是Hotelling於1931年首先提出的，它是一元統計分析中t統計量在多元分析中的直接推廣，因為當m=1時，T²就是通常用來檢驗是否均值=0的t統計量的平方。一般情況下。顯然T²≥0，且如果=0。則應該接近0，於是T²也應接近0，因此，如果T²的觀測值足夠大，則可認為有理由拒絕零假設H₀：=0。在一元統計分析中，t分布已有專門的t分布表可查，對於t分布在多元統計分析中的推廣的T²分布也有專門的T²(m，n)分布表可查。

相關結論

定理1 設與S為來自的容量為N=n+1的樣本均值與樣本協差陣，(其中n≥m)，令，則

為，即具有自由度m與n-m+1的參數為的非中心F分布。當=0時，則=0，這時就成為中心F分布。

證明 因為與S相互獨立，為，且，於是

由相關定理知

且與相互獨立。又因～， 由相關定理知，

因此

其中分子與分母是相互獨立的，將分子分母分別用它們對應的自由度除之，並根據非中心F分布定義，有

證畢。

這個定理的最大優點是它把T²統計量化成為F分布。

這裡關於T²分布的推導是由Wijsman 1957年給出的。注意，當=0時，T²簡記作T²(m，n)，此時(n一m+1)T²/nm的分布為中心分布。

因此，檢驗

零假設H₀：=0；備擇假設H₁：≠0時，在水平α下，如果

則拒絕H₀，接受H₁。其中表示分布的上100α%位點。