雙伽瑪函式

雙伽瑪函式是伽瑪函式的對數導數。

基本介紹

• 中文名：雙伽瑪函式
• 外文名：Digamma function
• 分類：數理科學

第一個多伽瑪函式

與調和數的關係

雙伽瑪函式，通常用ψ0(x)、ψ(x)或 F來表示，與調和數有以下的關係：

其中Hn是第n個調和數，γ是歐拉-馬歇羅尼常數。對於半整數的值，它可以表示為：

積分表示法

它有以下的積分表示法：

也可以寫為

這可以從調和數的歐拉積分公式得出。

泰勒級數

雙伽瑪函式有一個有理ζ級數，由z=1的泰勒級數給出。這是

當|z|<1時收斂。在這裡，{\displaystyle \zeta (n)}是黎曼ζ函式。這個級數可以很容易從赫爾維茨ζ函式的泰勒級數推導出。

牛頓級數

雙伽瑪函式的牛頓級數可從歐拉積分公式得出：

其中{\displaystyle \textstyle {s \choose k}}是二項式係數。

反射公式

雙伽瑪函式滿足一個反射公式，類似於伽瑪函式的反射公式：

遞推關係

雙伽瑪函式滿足以下的遞推關係：

高斯和

雙伽瑪函式具有以下形式的高斯和：

其中m是整數，且 。在這裡，ζ(s,q)是赫爾維茨ζ函式， 是一個伯努利多項式。乘法定理的一種特殊情況是：

一個推廣為：

其中假設了q是自然數，而1-qa則不是。

高斯雙伽瑪定理

對於正整數和，雙伽瑪函式可以用初等函式來表示：

特殊值

雙伽瑪函式有以下的特殊值：

參見

• 伽瑪函式
• 三伽瑪函式
• 多伽瑪函式