雅可比定理

雅可比定理（Jacobi theorem）是用哈密頓-雅可比方程解哈密頓方程組的一個方法。

基本介紹

• 中文名：雅可比定理
• 外文名：Jacobi theorem
• 適用範圍：數理科學

簡介

雅可比定理是用哈密頓-雅可比方程解哈密頓方程組的一個方法。

完全解

設 G 是R×Rⁿ中的區域，𝒫 是Rⁿ 中的區域，若n+1個變數 t, 含n個參數

的函式 S(t,x,a)滿足下列條件：

1、 ；

2、 ，則稱函式S(t,x,a) 是哈密頓-雅可比方程

的完全解。

若條件2中的方程換成方程

其中φ∈C²(𝒫)，則稱函式S(t,x,a)是方程

的完全解。

定理內容

雅可比定理斷言：若S(t,x,a)是哈密頓-雅可比方程(1)的完全解，又設x=X(t,a,b),y=Y(t,a,b)滿足方程

的C¹類函式，則 是依賴 2n個參數 a和b的哈密頓方程組

的解。

實例

例如，最速降線是泛函

的平穩函式，拉格朗日函式是

而哈密頓函式是

哈密頓-雅可比方程

有解

進而解得 t=b+aφ-a sinφ，x=h-a+a cosφ。