關於有限維非線性濾波分類和多項式濾波問題的研究

《關於有限維非線性濾波分類和多項式濾波問題的研究》是依託清華大學，由丘成棟擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：關於有限維非線性濾波分類和多項式濾波問題的研究
• 依託單位：清華大學
• 項目負責人：丘成棟
• 項目類別：面上項目

項目摘要

1980年前後，Brockett等提出研究與非線性濾波相關的有限維估計代數的分類。之後，Mitter猜想有限維非線性濾波的觀測函式必定是至多一次的多項式。 申請人及其合作者完成了具有最大秩的有限維估計代數的完全分類，並從上世紀90年代開始，和其學生在分類低維數的估計代數方面做了一系列工作。本項目的研究內容之一是對任給維數的有限維估計代數分類，並證明Mitter猜想的正確性。在完全分類了有限維估計代數的基礎上，申請人相信能夠發現更多的具有實際套用意義的新的有限維非線性濾波。另一方面，不是所有非線性濾波都是有限維的。如已被理論證明為本質無限維的非線性濾波- - 三次方濾波問題。受擴展卡爾曼濾波以及高斯和濾波的啟發，申請人提出研究如何合理地為高階中心矩添加條件，將無限多個高階中心矩的隨機微分方程轉化為有限多個封閉可解的微分方程組。申請人將採用蒙特卡羅實驗和統計的手段驗證新算法的一致性。

結題摘要

非線性濾波起源於跟蹤和信號處理問題，然而發展到今天，非線性濾波無處不在，其研究模型也被大大擴展，許多複雜的動態模型都可以用隨機過程來描述。濾波問題的核心目標是基於被噪聲污染的觀測，來疊代地獲取動態系統的狀態的最優估計。 我們在這個項目中針對非線性濾波問題展開了一系列的研究，我們的研究內容主要包括三個部分：第一個部分是對有限維非線性濾波問題，不僅在低維的情況下，而是對任給的有限維估計代數進行完全分類，並構造出任意維狀態值的任給維數估計代數對應的新的有限維非線性濾波；第二個部分是關於如何構造求解無限維多項式濾波問題的最優或者次最優快速算法；第三個部分是關於求解非線性濾波問題的直接法（Direct Method）的研究，即如何減少限制條件，將直接法推廣到最一般的情形。 關於估計代數問題，我們通過對狀態空間維數為3、線性秩為2的有限維估計代數的研究，證明了在估計代數的分類中扮演了重要角色的Wong 矩陣具有線性結構。在此工作的基礎上，我們證明了：（1）如果有限維估計代數中包含有二次函式，那么Wong 矩陣一定是常數矩陣；（2）在（1）的基礎上我們證明了Mitter猜想，即有限維估計代數中的函式都是線性函式。對狀態空間是3維，秩為1的情況，我們構造出具體實例說明Wong 矩陣並不一定是常數矩陣，同時我們也構造了一類有限維濾波。 關於次優濾波算法的研究，我們考慮用原狀態的中心矩去擴展原狀態得到較高維的新狀態，推導出新狀態的條件期望和條件協方差矩陣的發展方程，並套用卡爾曼方法（Carleman approach）到多項式濾波中得到次最優估計。 在關於直接法的研究中，我們提出了一個重要的算法：高斯逼近算法，利用這一算法我們可以將任意的分布分解為若干個高斯分布的和，這一算法在實際中有著廣泛的套用。此外我們首先將傳統的直接法推廣到了時變的濾波系統，然後進一步研究了直接法，將其推廣到了最一般的時變系統。