基本介紹
- 中文名：長幅圓外旋輪線
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：平面解析幾何
- 簡介：外次擺線的一種
基本介紹,旋輪線,
基本介紹
圓外旋輪線圓外旋輪線是一動圓沿一定圓外部滾動而無滑動時，圓周上一點M的軌跡，或叫外擺線。
圓外旋輪線的參數方程是
圓外旋輪線的形狀由m=a/b的值決定：
當m=1時，曲線是心臟線；
當m為整數時，曲線由λ支組成，動點M描完λ支後，(即動圓繞定圓一周)，返回起始位置(如圖1，圖2)；
當m為分數時，設m=p/q(p，q為互素的整數)，曲線由p支組成，動點M描完p支後(即動圓繞定圓q周)，返回起始位置(如圖3)；
當m為無理數時，M點不可能返回起始位置。
圓外旋輪線也叫外擺線。
長幅圓外旋輪線一動圓沿一定圓外部滾動而無滑動時，圓外一點M(圓內一點N)的軌跡叫做長(短)幅圓外旋輪線。
長(短)幅圓外旋輪線的參數方程是
其中a為定圓半徑，b為動圓半徑，λ=l/b，l是動圓外(內)一點M(N)到動圓圓心的距離，λ>1為長幅圓外旋輪線(如圖4)，0<λ<1時為短幅圓外旋輪線(如圖5)。
長(短)幅圓外旋輪線統稱為外次擺線。
旋輪線
旋輪線亦稱擺線，是在實踐中廣泛套用的一種曲線。平面上半徑為r的動圓Q(稱為母圓)沿著一條定直線l(基線)無滑動地滾動時，動圓周上點M的軌跡。取定直線為x軸(水平位置)，設動點M的初始位置為原點O，切點C(rφ，0)，則
其中α+φ=3π/2，故擺線的參數方程為
當參數φ從0變化到2π時，便得曲線的一拱，一拱的長為8r，且此拱與x軸之間的面積為3πr(母圓面積的三倍)，曲率半徑R=4r|sin φ/2|，極大值點Ak((2k-1)πr，2r)，尖點Ok(2kπr，0)(k=0，±1，±2，…)，擺線具有等時性.即位於擺線軌道(假定它的圖形是與上圖中的擺線關於x軸對稱的)上的一質點從靜止狀態落到軌道上最低點處所需下降時間恆為π
，與起始點M0位置無關。因此，擺線又稱為等時曲線。另外，設P，G為一鉛直平面上不在同一條鉛直線上的兩點，則質點在重力作用下，沿某曲線無摩擦地從點P滑動到點G，當曲線為擺線的一段弧時，所需的時間最短.因此，擺線又稱為最速降線或捷線。
擺線的定義是梅森(M.Mersenne)於1615年給出的，伽利略(G.Galilei)是最早研究擺線的人，惠更斯(C.Huygens)發現了擺線的等時性以後，就用它設計出擺動周期不受振幅變化的影響的擺線時鐘，擺線這個名稱，正是由於這種曲線被套用於改進鐘擺而得來的，約翰第一·伯努利(Bernoulli，Johann Ⅰ)於1696年6月號《教師學報》上提出了最速降線問題，而正確答案是由牛頓(I.Newton)、萊布尼茨(G.W.Leibniz)、洛必達(L′Hospital，G.-F.-A.de)及伯努利兄弟等多人獲得的。
