《量子超群及相關超代數的表示理論》是依託北京理工大學，由萬金奎擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：量子超群及相關超代數的表示理論
- 依託單位：北京理工大學
- 項目負責人：萬金奎
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
作為量子群的重要推廣，量子超群在數學和物理的很多分支有著廣泛的套用。本項目力圖在前期已有的工作基礎上進一步研究量子線性超群和量子奇異超群以及相關的超代數如量子舒爾超代數和量子奇異舒爾超代數的表示理論，主要包括：研究量子線性超群和量子奇異超群的Fock 空間，嘗試構造這些空間的典範基以及建立與Hecke代數和Hecke-Clifford超代數的Kazhdan-Lusztig多項式的聯繫；研究量子奇異超群的Beilinson-Lusztig-MacPherson實現理論和典範基理論，力圖構造出量子奇異超群的典範基；建立量子舒爾超代數和量子奇異舒爾超代數的Z-分次結構；研究量子奇異舒爾超代數的胞腔結構；研究Hecke代數在經典李超代數的兩兩正交的根構成的集合所張成的空間上的作用及該空間的典範基。
結題摘要
作為量子群的重要推廣，量子超群在數學和物理的很多分支有著廣泛的套用。項目組對量子超群如量子線性超群、量子正交-辛超群、量子奇異超群以及息息相關的其它超代數如量子奇異舒爾超代數、Hecke-Clifford超代數的表示理論中相關問題進行了研究，同時也對與上述代數相關的其他數學對象如Yokonuma-Hecke代數以及有限域上一般線性群的表示理論進行了探索，主要研究結果如下：（1）建立了量子線性超群和量子正交-辛超群的Fock空間和有限維表示範疇與ribbon圖範疇之間的聯繫，並證明了這兩類量子超群的不變數第一基本定理；（2）證明了量子Bruhat cell的坐標代數經過適當的局部化後同構於量子擬Laurent多項式代數，進而給出了量子坐標代數的一大類holonomic不可約表示；（3）根據量子奇異超群的根向量的交換子公式給出了量子奇異超群在單位根處的不可約多項式表示的完整分類，並進一步根據交換子公式給出了量子奇異超群的部分乘法公式，為進一步研究Beilinson-Lusztig-MacPherson實現理論奠定了基礎；（4）構造了量子奇異舒爾超代數的一組具有整形式的基，並給出了這些超代數的不可約表示的分類與構造和建立了量子奇異舒爾超代數的張量表示的Z-分次結構；（5）建立了Zelevinsky對合在Hecke-Clifford超代數上的推廣，並給出了Zelevinsky對合在Hecke-Clifford超代數的完全可裂不可約表示上的作用的完整刻畫；（6）給出了量子正交-辛超代數在單位根處的有限維不可約表示的完整分類；（7）建立了有限域上一般線性群的群代數中心的穩定性，並藉此建立了其他經典群如有限域上仿射群、辛群以及酉群的群代數中心的穩定性；（8）研究了與Hecke代數和Hecke-Clifford超代數息息相關的仿射和分圓Yokonuma-Hecke代數的表示理論，給出了這些代數的不可約表示的構造和分類，並利用範疇化理論建立了與仿射李代數的聯繫。本項目所涉及的內容是眾多學者們所關注的問題，對相關的李超代數、量子超群、赫克-克利福德超代數的表示理論的進一步研究奠定了基礎，並對這類領域的發展具有一定的推動作用。
