重複排列是排列的一種。從n個不同的元素中，每次取出m個元素，但同一元素可以重複取出，排成一列，稱為一個可重複排列。在作一個可重複排列時，如果元素a被取上幾次，排列中它就出現幾次，但同一元素的位置交換不能認為是不同排列。兩個可重複排列相同若且唯若所取的元素相同，並且同一元素取的次數相同，在排列中占的位置也相同。從n個元素中可重複地選取m個元素的可重複排列個數稱為可重複排列種數。
基本介紹
- 中文名：重複排列
- 外文名：permutation with repetition
- 所屬學科：數學
- 屬性：排列的一種
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定義
可以通過例題理解重複排列。
例1 由1，2，3，4，5，6，7，8，9可以組成多少個五位數?
解： 第一位(萬位)可以是1，2，3，4，5，6，7，8，9中的任何一個，因而有9種確定第一位的方式；
由於題目中沒有限制數字不重複，即允許數字重複，因而第二位(千位)，第三位(百位)，第四位(十位)和第五位(個位)都各有9種確定的方式；
因此可以組成9×9×9×9×9=95(個)五位數。
例2 有10個燈泡並聯在一起，排成一排，由燈泡“亮”與“不亮”可以組成多少個不同的信號?
解： 每個燈泡都有“亮”與“不亮”兩種信號，因此有
我們分析一下這兩個例題：
像12 234，23 335就是例1中的兩個不同的排列，其中2和3重複出現在排列中，在例2中，如果設1為燈泡“亮”，0為燈泡“不亮”，這樣1000100011就是例2中的一個排列，其中0和1都重複出現在排列中。
重複排列規律
關於重複排列的計數方法有下面的規律。
定理1
設有n個不同的元素，從這n個不同的元素中每次取出 r 個元素的重複排列的個數為
證明: 設取出的 r 個元素排在 r 個位置上。
第一個位置上可以取n個不同的元素中的任何一個，所以有n種不同的取法；
由於元素允許重複，所以第二個位置也有n種不同的取法；
同樣，每個位置上的元素都有n種不同的取法。
所以，從這n個不同的元素中每次取出 r 個元素的重複排列的個數為
這裡需要指出的是 n 和 r 只要都是正整數就可以，r 不受 n 的約束，即 r 可以小於n，也可以大於n，也可以等於n。
例題解析
例3 從1到100 000的所有正整數中，至少有一位包含1的正整數有多少個?
解： 從1到100 000的所有正整數共有105個，在這些數中，不包含1的正整數，相當於從0，2，3，4，5，6，7，8，9取出5個的重複排列，有
但是，其中有一個數00 000不是正整數。
從1到100 000的所有正整數中，至少有一位包含1的正整數，應該從1到100 000的所有正整數中減去不包含1的正整數，由於其中也減去了00 000，故多減去一個，於是，從1到100 000的所有正整數中，至少有一位包含1的正整數有
105－(95－1)=105－95+1=40 952(個).
例4 有7封信，隨意投人3個信箱，有多少種投法?
解： 第1封信有3種投法，由於是隨意投入信箱，因此，投入的信箱允許重複，所以第2，3，4，5，6，7封信也都有3種投法，於是共有
(種)投法。
