一般地，有限制條件的排列解決，都需要一定的方法。如果方法得當，則問題可以得到簡單的解決；如果解決問題的方法選取不當，那么處理起來會很麻煩，甚至無法得到解決。
為此，下面我們簡單的介紹一些常見的有限制條件的排列問題的處理辦法。
基本介紹
- 中文名：排列與組合全集（精講）
- 處理方法：一般有限制條件的問題
- 基本題型：有序排列
- 原理：加法原理
處理方法,常見基本題型,有序排列,重複排列,圓排列,原理及套用,
處理方法
首先，我們得弄清可能出現的問題種類，即一般有限制條件的問題的基本題型。通常有相鄰問題、不相鄰問題、有序問題等問題。
再則，我們得了解一般解決問題的方法，常用的有捆綁法、插空法、特殊元素優先處理法、整排異法等方法。
下面我們以例題形式具體講解：
常見基本題型
有序排列
例1 某地開運動會，有十個隊代表隊，現這些隊需要入場，其中甲隊不在乙隊後入場，求滿足條件的排法數？ 分析：此問題為典型的有序排列問題，一般來講，解決這類問題可以用特殊元素優先處理法、分類討論法、整體法等方法。
解 法一：特殊元素優先處理法
一，甲排在第一出場，則乙有9種排法（餘下9個位置乙任選一個），剩下的全排，所以N1=9×8！；
二，甲排在第二出場，則乙有8種排法，餘下的全排即可，所以N2=8×8！；
三，甲排在第三出場~~~~~~
~~~~~~~
九，甲排在倒數第二出場，則乙只有唯一的一種排法（乙必須排在甲後），餘下全排，所以N9=1×8!
則總的排法數N=N1+N2+~~~+N9=(1+2+~~~+9)×8!;
法二：分類討論法
可以先固定甲的位置也可先固定乙的位置，在排餘下的元素，因後續工作與乙完全相同，所以在此從簡。
法三：整體考慮法
第一步，先把十個元素全排，有10！種排法；
第二步，排除不符合條件的排法數，因為甲和乙的位置只可能是甲前乙後或乙前甲後，即不滿足條件的占一半。
所以，總的排法數N=10！/2！
例2 某班有三十人，其中女生10人，男生20人，需要參加兩項志願者活動，老師準備派遣10人代表該班去參加。
（1）參加活動的要求不能全為男生，求滿足條件的選派方法數？
（2）要求參加活動甲同學和乙同學不能同時參加，求滿足條件的方法數？
（3）因需要女生參加活動的人數不能少於5人，且要求兩項活動都有女生參加，求滿足條件的方法數？
解 （1）分析：此問題可用分類討論法（先分參加活動的女生人數，在確定男生的人數；或先確定參加活動男生的人數，在確定女生人數），整排異法。
法一：分類討論法
一，有1名女生參加，則還需男生9人，此時有排法數N1=10×20！×（9！×11！）；
二，有2名女生參加，則還需男生8人，此時有排法數N2=〔10！/（8！×2！）〕×〔20！/(8！×12！)〕;
~~~~~~
十，參加的全為女生，則此時有排法數N10=1;
所以，總的排法數N=N1+N2+~~~+N10;
法二：整排異法
第一步，三十人中選10人，此時有排法數N1=30!/(10!×20!);
第二步，從一中排除不滿足條件的排列數，即減去全為男生的排法數，此時N2=20!/(10!×10!)
所以，滿足條件的方法數N=N1—N2;
(2) 分析：此問題可以用分類討論法或整排異法
分類可作如下分類：一甲乙都沒參加，即從28人中選10人即可；二甲參加乙沒參加，即除去甲乙外再選9人；三乙參加而甲不參加，後面問題與二相同處理。則總的方法數為一二三種情況的和。
整排異法可作如下討論：一不管甲乙的限制條件，即30人中選10人；二排除甲乙都參加的排法數；則總數為一的排法數減去二的。
（3）此問題可分兩大步來處理：一，在滿足條件下選人，二按條件分配人。在此不做討論，留給讀者去探討。
重複排列
一、定義：一組元素不全不同，現將其排列，此種排列叫做重複排列。
二、 例3 有如下一組數1，1，1，2，2，2，3，3，現將其排成一列，求不同的排法有多少種？
解 分析：以上問題有相同元素，將其排列則屬於重複排列範疇。現我們作如下解，並歸納出其一般情況下的計算公式。
第一步，把相同元素看作不同元素作全排，有N1=8!種排法；
第二步，確定相同排列：分析，令a=1,b=1,c=1.abc,acb,bca,bac,cba,cab，因為abc都代表1，即前面的排列應視為相同排列，據此我們的到滿足條件的排列數為N=N1/(3!×3!×21);
一般地，一組元素有a1個x1，a2個x2，a3個x3~~~~an個Xn，則此重複排列的排列種數為N=(a1+a2+a3+~~~+an)!/〔(a1)!(a2)!(a3)!(an)!〕
圓排列
一、定義：有一組元素，將其排成一個圓，這種排列叫做圓排列或項鍊排列。
二、 例4 有五個小朋友，手拉手排成一個圓做遊戲，求不同的排法數？
解 分析：此問題的元素有五個，其排列方式為排成一個圓，及圓排列。
我們作例3的類似討論求解，第一步，將其全排，有5！種排法；
第二步，從一中排除相同的排列，分析如下：設五個小朋友中有甲乙二人，因為無論甲乙誰排在首位作圓排，其都為一種排法。則滿足條件的方法數為N=（5—1）！
一般地，有m個元素作圓排列，其計算公式為（m—1）！
原理及套用
兩個基本計數原理及套用
1．加法原理
2．加法原理的集合形式
3．分類的要求
每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務的任何一種方法，都屬於某一類(即分類不漏)
1．乘法原理
2．合理分步的要求
任何一步的一種方法都不能完成此任務，必須且只須連續完成這n步才能完成此任務；各步計數相互獨立；只要有一步中所採取的方法不同，則對應的完成此事的方法也不同
如果你還有點疑惑！我就講點例題（很經典的）
[例題分析]排列組合思維方法選講
1．首先明確任務的意義
例1. 從1、2、3、……、20這二十個數中任取三個不同的數組成等差數列，這樣的不同等差數列有________個。
分析：首先要把複雜的生活背景或其它數學背景轉化為一個明確的排列組合問題。
設a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c決定，
又∵ 2b是偶數，∴ a,c同奇或同偶，即：從1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20這十個數中選出兩個數進行排列，由此就可確定等差數列，因而本題為C(2,1)* C(10,2)* C(2,1)=2*45*2=180。
例2. 某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進，則從M到N有多少種不同的走法?
分析：對實際背景的分析可以逐層深入
（一）從M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步。
（二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法。
（三）事實上，當把向上的步驟決定後，剩下的步驟只能向右。
從而，任務可敘述為：從八個步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數，
∴ 本題答案為：C（8,3）=56。
例3．在一塊並排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利於作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不少於6壟，不同的選法共有______種。
第一類：A在第一壟，B有3種選擇；
第二類：A在第二壟，B有2種選擇；
第三類：A在第三壟，B有1種選擇，
同理A、B位置互換 ，共12種。
例4．從6雙不同顏色的手套中任取4隻，其中恰好有一雙同色的取法有________。
(A)240 (B)180 (C)120 (D)60
分析：顯然本題應分步解決。
（一）從6雙中選出一雙同色的手套，有種6方法；
（二）從剩下的十隻手套中任選一隻，有種10方法。
（三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八隻手套中任選一隻，有種8種方法；
（四）由於選取與順序無關，因而（二）（三）中的選法重複一次，因而共240種。
例5．身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個人都比他同列的身後的人個子矮，則所有不同的排法種數為_______。
分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊方法只與人的選法有關係，共有三縱列，從而有
C(6.2)*C(4.2)*C(2.2)=15*6*1=90種。
例6．在11名工人中，有5人只能當鉗工，4人只能當車工，另外2人能當鉗工也能當車工。現從11人中選出4人當鉗工，4人當車工，問共有多少種不同的選法?
分析：採用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點？分類的標準必須前後統一。
以兩個全能的工人為分類的對象，考慮以他們當中有幾個去當鉗工為分類標準。
第一類：這兩個人都去當鉗工，有10種；
第二類：這兩人一個去當鉗工，另一個什麼都不當，有20種；
第三類：這兩人一個當鉗工，一個當車工，有80種；
第四類：這兩人都當車工，有30種；
第五類：這兩人一個當車工，另一個什麼都不當，有40種；
第六類：這兩人什麼都不當，有5種。
因而共有185種。
例7．現有印著0，l，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個不同的三位數?
分析：有同學認為只要把0，l，3，5，7，9的排法數乘以2即為所求，但實際上抽出的三個數中有9的話才可能用6替換，因而必須分類。
抽出的三數含0，含9，有種16方法；
抽出的三數含0不含9，有種24方法；
抽出的三數含9不含0，有種36方法；
抽出的三數不含9也不含0，有種24方法。
又因為數字9可以當6用，因此共有2*(16+36)+24+24=152種方法。
例8．停車場劃一排12個停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位連在一起，不同的停車方法是________種。
分析：把空車位看成一個元素，和8輛車共九個元素排列，因而共有9種停車方法。
3．特殊元素，優先處理；特殊位置，優先考慮
例9．六人站成一排，求
(1)甲不在排頭，乙不在排尾的排列數
(2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數
分析：（1）先考慮排頭，排尾，但這兩個要求相互有影響，因而考慮分類。
第一類：乙在排頭，有P(5,5)=120種站法。
第二類：乙不在排頭，當然他也不能在排尾，有C(4,1)*C(4,1)*P(4,4)=384種站法，
共504種站法。
（2）第一類：甲在排尾，乙在排頭，有種24方法。
第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有種72方法。
第三類：乙在排頭，甲不在排頭，有種72方法。
第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有144種方法。
共72+72+24+144=312種。
例10．對某件產品的6件不同正品和4件不同次品進行一一測試，至區分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測試時被全部發現，則這樣的測試方法有多少種可能?
分析：本題意指第五次測試的產品一定是次品，並且是最後一個次品，因而第五次測試應算是特殊位置了，分步完成。
第一步：第五次測試的有C(4.1)種可能；
第二步：前四次有一件正品有C(6.1)種可能。
第三步：前四次有P(4.4)種可能。
∴C(4.1)*C(6.1)*P(4.4)=24*24=576（種）
以下內容為很渴望的朋友準備，別閒煩啊！
捆綁與插空
例11. 8人排成一隊
(1)甲乙必須相鄰 (2)甲乙不相鄰
(3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 (4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰
(5)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰
分析：（1）有種P(7.7)*2方法。
（2）有P(8.8)-P(7.7)*2種方法。
（3）有P(7.7)*2-P(6.6)*2*2種方法。
（4）有P(6.6)*2*2種方法。
（5）本題不能用插空法，不能連續進行插空。
有P(8.8)-P(7.7)*2*2+P(6.6)*2*2種方法。
例12. 某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續命中，有多少種不同的情況?
分析：∵ 連續命中的三槍與單獨命中的一槍不能相鄰，因而這是一個插空問題。另外沒有命中的之間沒有區別，不必計數。即在四發空槍之間形成的5個空中選出2個的排列，即P(5.2)。
例13. 馬路上有編號為l，2，3，……，10 十個路燈，為節約用電又看清路面，可以把其中的三隻燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩隻或三隻，在兩端的燈也不能關掉的情況下，求滿足條件的關燈方法共有多少種?
分析：即關掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因為燈與燈之間沒有區別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個空中選出3個空放置熄滅的燈。
∴ 共C(6.3)=20種方法。
4．間接計數法.(1)排除法
例14. 三行三列共九個點，以這些點為頂點可組成多少個三角形?
分析：有些問題正面求解有一定困難，可以採用間接法。
∴ 共C(9.3)-8種。
例15．正方體8個頂點中取出4個，可組成多少個四面體?
分析：所求問題的方法數=任意選四點的組合數-共面四點的方法數，
∴ 共C(8.4)-12=70-12=58個。
分析：由於底數不能為1。
（1）當1選上時，1必為真數，∴ 有一種情況。
（2）當不選1時，從2--9中任取兩個分別作為底數，真數，共，其中log24=log39，log42=log93, log23=log49, log32=log94.
因而一共有53個。
(3)補上一個階段，轉化為熟悉的問題
例17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相鄰)，共有多少種不同的方法? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢?
分析：（一）實際上，甲在乙的前面和甲在乙的後面兩種情況對稱，具有相同的排法數。因而有=360種。
（二）先考慮六人全排列；其次甲乙丙三人實際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數重複了種， ∴ 共=120種。
例18．5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法?
分析：首先不考慮男生的站位要求，共種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重複了次。因而有=9×8×7×6=3024種。
若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法， 同理也有3024種，綜上，有6048種。
例19. 三個相同的紅球和兩個不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法?
分析：先認為三個紅球互不相同，共種方法。而由於三個紅球所占位置相同的情況下，共有變化，因而共=20種。
5．擋板的使用
例20．10個名額分配到八個班，每班至少一個名額，問有多少種不同的分配方法?
分析：把10個名額看成十個元素，在這十個元素之間形成的九個空中，選出七個位置放置檔板，則每一种放置方式就相當於一種分配方式。因而共36種。
6．注意排列組合的區別與聯繫：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補充一個階段(排序)可轉化為排列問題。
例21. 從0，l，2，……，9中取出2個偶數數字，3個奇數數字，可組成多少個無重複數字的五位數?
分析：先選後排。另外還要考慮特殊元素0的選取。
（一）兩個選出的偶數含0，則有種。
（二）兩個選出的偶數字不含0，則有種。
例22. 電梯有7位乘客，在10層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最後兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法?
分析：（一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四組，有種。
（二）選擇10層中的四層下樓有種。
∴ 共有種。
例23. 用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重複數字的四位數，
(1)可組成多少個不同的四位數?
(2)可組成多少個不同的四位偶數?
(3)可組成多少個能被3整除的四位數?
(4)將(1)中的四位數按從小到大的順序排成一數列，問第85項是什麼?
分析：（1）有300種。
（2）分為兩類：0在末位，則有60種：0不在末位，則有96種。
∴ 共156種。
（3）先把四個相加能被3整除的四個數從小到大列舉出來，即先選
0，1，2，3
0，1，3，5
0，2，3，4
0，3，4，5
1，2，4，5
它們排列出來的數一定可以被3整除，再排列，有96種。
（4）首位為1的有=60個。
前兩位為20的有=12個。
前兩位為21的有=12個。
因而第85項是前兩位為23的最小數，即為2301。
7．分組問題
例24. 6本不同的書
(1) 分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種不同的分法?
(2) 分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法？
(3) 分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有多少種不同的分法？
(4) 甲一本，乙兩本，丙三本，有多少種不同的分法?
(5) 分給甲乙丙三人，其中一人一本，一人兩本，第三人三本，有多少種不同的分法?
分析：（1）有90種。
（2）即在（1）的基礎上除去順序，有15種。
（3）有60種。由於這是不平均分組，因而不包含順序。
（4）有60種。同（3），原因是甲，乙，丙持有量確定。
（5）有360種。
例25. 6人分乘兩輛不同的車，每車最多乘4人，則不同的乘車方法為_______。
分析：（一）考慮先把6人分成2人和4人，3人和3人各兩組。
第一類：平均分成3人一組，有20種方法。
第二類：分成2人，4人各一組，有15種方法。
（二）再考慮分別上兩輛不同的車。
綜合（一）（二），有70種。
例26. 5名學生分配到4個不同的科技小組參加活動，每個科技小組至少有一名學生參加，則分配方法共有________種.
分析：（一）先把5個學生分成二人，一人，一人，一人各一組。
其中涉及到平均分成四組，有=種分組方法。
（二）再考慮分配到四個不同的科技小組，有種，
由（一）（二）可知，共=240種。
有點小多，但希望大家能長補短！
依自己的情況而選做研究
