排列數

分類

排列及計算公式

從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號

A(n,m)表示或

【P(n,m)】表示。

A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(當n=m時，上述式子分母為0!=1).

組合及計算公式

從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素並成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數.用符號

C(n,m) 表示。(C即Combination).

C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；C(n,m)=C(n,n-m);

3．其他排列與組合公式

從n個元素中取出r個元素的循環排列數=A(n,r)/r=n!/r(n-r)!.

n個元素被分成k類，每類的個數分別是n1,n2,...nk這n個元素的全排列數為

n!/(n1!*n2!*...*nk!).

k類元素,每類的個數無限,從中取出m個元素的組合數為C(m+k-1,m).

兩個基本計數原理及套用

1．加法原理

2．加法原理的集合形式

分類的要求

每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務的任何一種方法，都屬於某一類(即分類不漏)

1．乘法原理

2．合理分步的要求

任何一步的一種方法都不能完成此任務，必須且只須連續完成這n步才能完成此任務；各步計數相互獨立；只要有一步中所採取的方法不同，則對應的完成此事的方法也不同

[例題分析]排列組合思維方法選講

1．首先明確任務的意義

例1. 從1、2、3、4……、20這二十個數中任取三個不同的數組成等差數列，這樣的不同等差數列有________個。

分析：首先要把複雜的生活背景或其它數學背景轉化為一個明確的排列組合問題。

設a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c決定，

又∵ 2b是偶數，∴ a,c同奇或同偶，即：從1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20這十個數中選出兩個數進行排列，由此就可確定等差數列，因而本題為18+16+…+2=180 。

例2. 某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進，則從M到N有多少種不同的走法?