郎之萬方程

簡介

在統計物理中，朗之萬公式（保羅·朗之萬，1908年) 是一個描述自由度的子集的時間演化的隨機微分方程。這些自由度，通常是那些在與系統的其他（微觀的）變數相比，變化較緩慢的集體（巨觀的）變數。快速變化（微觀）的變數導致了朗之萬公式的隨機性。

原朗之萬公式描述了布朗運動，因受到流體分子的碰撞，粒子在流體中做無規則運動，

這裡，自由度是粒子的位置

，m表示粒子的質量。作用在粒子上的力表達成正比於粒子速度（斯托克斯定律）的粘滯力，和一個表示流體分子碰撞影響的噪聲項

（隨機微分方程中表示隨機過程的術語在物理背景中的命名）的和。這個力（漲落力）

具有高斯分布，其相關函式

其中

是玻爾茲曼常數, T是溫度，

是矢量

的第 i分量，δ-函式形式的時間相關性，表示假設該力在時刻 t，與其他任何時刻完全不相關。這是一個近似，實際上隨機力有一個與分子碰撞時長相對應的非零的相關時間。但是，朗之萬方程是用來描述“巨觀”微粒在很長時間尺度下的運動，並且在這種極限情況下

-相關和朗之萬方程是精確的。

朗之萬方程的另一個典型特徵是在隨機力的相關函式中導致了阻尼係數

出現，這一現象也被稱為愛因斯坦關係。

一個嚴格的

-關係的漲落力

不是通常數學意義上的可微函式，即使它的一階導數

在這種極限下也沒有定義。要求朗之萬方程在這種情況下的解釋，可參見條目伊藤積分。