玻爾茲曼常數

玻爾茲曼常數（Boltzmann constant）（k 或 k_B）是指有關於溫度及能量的一個物理常數。玻爾茲曼是一位奧地利物理學家，在統計力學的理論有重大貢獻，玻爾茲曼常數具有相當重要的地位。

熱力學單位開爾文就是用玻爾茨曼常數定義的。

基本介紹

• 中文名：波爾茲曼常數
• 外文名：Boltzmann constant
• 符號：k或kB
• 數值：1.3806505(24) × 10^-23 J/K
• 相關約化單位：kT=0.025852 eV (T=300K時)
• 學科：物理學，計量 

簡介

玻爾茲曼常量系熱力學的一個基本常量，記為“k”，數值為：k=1.3806505(24) × 10^-23 J/K，玻爾茲曼常量可以推導得到：理想氣體常數R等於玻爾茲曼常數乘以阿伏伽德羅常數（即R=k·N_A）。

2018年11月16日，國際計量大會通過決議，1開爾文將定義為“對應玻爾茲曼常數為1.380649×10^-23J·K^-1的熱力學溫度”。新的定義於2019年5月20日起正式生效。

物理意義

玻爾茲曼常數的物理意義是：氣體常數 R 是玻爾茲曼常量 k 乘上阿伏伽德羅常數 NA。

E_k=(3/2)kT

式中E_k為單個分子的平均平動動能，T為熱力學溫度。

推導過程

從氣體動理論的觀點來看，理想氣體是最簡單的氣體，其微觀模型有三條假設：

1.分子本身的大小比分子間的平均距離小得多，分子可視為質點，它們遵從牛頓運動定律。

2.分子與分子間或分子與器壁間的碰撞是完全彈性的。

3.除碰撞瞬間外，分子間的相互作用力可忽略不計，重力的影響也可忽略不計。因此在相鄰兩次碰撞之間，分子做勻速直線運動。單個分子在一次碰撞中對器壁上單位面積的衝量：

I=2m·vx

vx為x方向上的速度分量.這一次碰撞的時間為2a╱v_x，故單位時間內的碰撞次數為v_x╱2a。

所以單位時間內該分子對該器壁的衝量為：

(2m·v_x)(v_x/2a)=m·v_x²/a.

而v_x²=v_y²=v_z²=(1/3)v²,故單位時間內容器內所有分子對該器壁的壓強

p=N×(1/3)m·v²/(a×b×c)= (1/3)N·m·v²/V，

由於分子平動動能Ek=(1/2)m·v²故，

p=(1/3)N·m·v²/V=(2N/3V)E_k。V為體積。該式即為理想氣體的壓強公式。

而理想氣體狀態方程P=N/V×(R/N')×T，其中N為分子數，N'為阿伏加德羅常數，定義R/N'為玻爾茲曼常數k，有：P=NkT╱V，即：PV=nRT=nN'kT=NkT.

上述所有的v為粒子的平均速率，E_k為平均平動動能。

套用

熵函式

熵可以定義為玻爾茲曼常數乘以系統分子的狀態數的對數值：

S=k㏑Ω

這個公式是統計學的中心概念。系統某一巨觀態對應的微觀態數愈多，即它的混亂度愈大，則該狀態的熵也愈大。因而熵是表征系統狀態無序度的物理量。

理想氣體常數

理想氣體常數等於玻爾茲曼常數與阿伏伽德羅常數的乘積：

R=kN

數值及單位為：（SI制，2002 CODATA 值） k = 1.3806505(24) × 10^-23 J/K。

括弧內為誤差值，原則上玻爾茲曼常數為導出的物理常數，其值由其他物理常數及絕對溫度單位的定義所決定。

理想氣體溫度

理想氣體的壓強公式為p=(1/3)Nmv²/V=(2N/3V)Ek，V為體積。而理想氣體狀態方程P=N/V*(R/N₀)*T，其中N為分子數，N’為阿伏加德羅常數，定義R/N’為玻爾茲曼常數k，因此有

P=（N/V)kT

故(1/3)Nmv²/V=（N/V)kT，（1/2)mv²=(3/2)kT，即

E_k=(3/2)kT。

考慮到粒子的運動有三個自由度（x，y，z），在單個自由度上的粒子動能為總動能的1/3，

則有E_kx=E_ky=E_kz=(1/2)kT，

可以看到：

①溫度完全由氣體分子運動的平均平動動能決定。也就是說，巨觀測量的溫度完全和微觀的分子運動的平均平動動能相對應，或者說，大量分子的平均平動動能的統計表現就是溫度（如果只考慮分子的平動的話）。

②如果已知氣體的溫度，就可以反過來求出處在這個溫度下的分子的平動速度的平方的平均值，這個平均值開方就得到所謂方均根速率。