邊邊邊定理

邊邊邊定理，簡稱SSS，是平面幾何中的重要定理之一。邊邊邊定理的內容是：有三邊對應相等的兩個三角形全等。它用於證明兩個三角形全等。該定理最早由歐幾里得證明。

此外，全等三角形判定定理還有 “邊角邊"(SAS)、 “角邊角"(ASA)、“角角邊”（AAS）等。

基本介紹

• 中文名：邊邊邊定理
• 外文名：Theorem of edges and edges
• 作用：證明兩個三角形全等
• 解釋：有三邊對應相等的兩個三角形全等
• 簡稱：SSS
• 證明者：歐幾里德

定義

邊邊邊定理，簡稱SSS，是平面幾何中的重要定理之一。邊邊邊定理的內容是：有三邊對應相等的兩個三角形全等。它用於證明兩個三角形全等。該定理最早由歐幾里得證明。

《義務教育數學課程標準》（2011 版）將判定三角形全等中的“邊邊邊”列為基本事實，即作為證明推理的出發點，並不要求證明。同時，為了幫助學生髮現並理解這條基本事實的合理性，現行教材大都沿襲傳統做法，即通過尺規作圖，根據已知三邊的長度作出一個三角形，再將作出的三角形與原三角形放在一起，看是否重合來得到“邊邊邊”的合理性。以上做法是實驗幾何的方法，並沒有證明“邊邊邊”的成立。

證明方法

歐幾里得的《幾何原本》，其中命題 8 證明了三邊分別相等的兩個三角形，則夾在等邊中間的角也相等。書中採用的是反證法，並且藉助書中另外一條定理（即命題 7）來完成證明。有了這條定理做保證，就可以繼續藉助“邊角邊”完成“邊邊邊”的證明。

方法1

設：在三角形ABC和三角形DEF中，AB等於DE，AC等於DF，即AB是DE的對應邊，AC是DF的對應邊。BC等於EF。

那么說：三角形ABC全等於三角形DEF。

將點B替換成點E，線段BC替線段EF，因為BC等於EF，所以點C與點F重合，那么BA、AC分別於ED、DF重合。

如果底邊BC與底邊EF重合，而BA、AC兩邊與ED、DF兩邊不重合，形成了新的兩邊與EG、FG重合，那么從一條線段的兩個末端引出的兩條線段相交於一點，同一條線段的兩個末端引出的另外兩條線段交與另一點，兩組對應邊不能相等。所以：假設不能成立。

所以三角形ABC和三角形DEF可以重合，所以三角形ABC和三角形DEF全等。

方法2

一般證明“邊邊邊”常採用以下方法：

圖1

在△ABC和△A'B'C'中，已知AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'。求證：△ABC ≌ △ A'B'C'。

證明：將△ABC通過平移、旋轉和軸反射，使BC的像與B'C'重合(並使A的像與A'在BC的兩旁)，連線AA'，得到圖1。

因為AB=A'B'，AC=A'C'，

在△ABC和△A‘B'C'中，AB=A‘B'，角BAC=角B'A'C'，AC=A'C'，所以△ABC ≌ △ A'B'C' ( SAS )。

由此得到以下基本事實：三邊對應相等的兩個三角形全等。注意到上述證明過程中，藉助了“等腰三角形等邊對等角”這一定理，儘管課標對“邊邊邊”不作證明要求，但從幾何定理的編排順序以及數學教材的嚴謹性來講，在呈現“邊邊邊”這一基本事實之前，最好先證明等腰三角形的相關性質，再介紹“邊邊邊”，那么一切將順理成章。

定理的證明

藉助“邊角邊”證明“等邊對等角”：

（1）歐幾里得的《幾何原本》的命題 5 也是證明等腰三角形“等邊對等角”。已知AB=AC，延長AB到D，延長AC到E，使AD=AE。由《幾何原本》命題 4 的“邊角邊”，可證明△ADC≌△AEB，從而BE=CD，角BDC=角BEC，又BD=CE，再用“邊角邊”可證得△DBC≌△ECB，進 而得 到角DBC=角ECB，於是角ABC=角ACB。

這個證明過程要用到兩次全等證明，這對於初學者來說很難。因此該定理戲稱為“笨蛋的難關（Asses' Bridge）”，照原文直譯即“驢橋”，意思是學完該定理的證明，學習者就基本掌握證明的方法了。

（2）還有一種證明方法是證明“自己與自己全等”。如圖 2，已知△ABC，AB=AC。因為AB=AC，角A=角A，AC=AB，所以△ABC≌△ACB，所以角B=角C。這種證明方法巧妙，但一般的人很難接受這種證明方式。

圖2

以上這些證明方式都是利用“邊角邊”完成證明，也就是說教材可以先講“邊角邊”，再證明等腰三角形的相關性質，接著就可以推出“邊邊邊”了。考慮到等腰三角形的知識點比較多（含性質和判定），從教材編寫的角度考慮，單獨將“等腰三角形”做一小節是合適的。