逆序

定義

定義1 由自然數1，2，...，n 組成的一個有序數組稱為一個n級排列（簡稱為排列）。

例如，2431是一個四級排列，45321是一個五級排列。

註：n級排列的總數是

顯然，1,2,...,n也是一個n級排列，這個排列具有自然順序，就是按遞增的順序排起來的；其它的排列都或多或少地破壞自然順序。

定義2 在一個排列中，如果一對數的前後位置與大小順序相反，即前面的數大於後面的數，那么它們就稱為一個逆序。

註：1.對於n個不同的元素，先規定個元素之間有一個“標準次序”（例如n個不同的自然數，可規定由小到大為標準次序），於是在這n個元素的任一排列中，當某兩個元素的先後次序與標準次序不同時，就有1個“逆序”。

2.一個排列中所有逆序的總數叫做這個排列的逆序數。

3.逆序數為奇數的排列叫做奇排列，逆序數為偶數的排列叫做偶排列。

例1 2431中的逆序有（2,1），（4,3），（4,1），（3,1），即其逆序數為4，它是一個偶排列。

例2 45321中的逆序有（4,3），（4,2），（4,1），（5,3），（5,2），（5,1），（3,2），（3,1），（2,1），即其逆序數為9，它是一個奇排列。

例3 排列1,2,...,n中沒有逆序，即逆序數為零，因而它是偶排列。

利用定義，藉助逆序求行列式的值。

定義3（n階行列式的定義）

等於所有取自不同行不同列的n個元素的乘積

的代數和，這裡

是1,2，...，n的一個排列，每一項都按下列規則帶有符號：當

是偶排列時帶有正號，當

是奇排列時帶有負號。

這一定義可寫成

其中，

表示

的逆序數。