反序數

在n個數碼1，2，…，n的全排列j₁j₂…j_n中，若一個較大的數碼排在一個較小的數碼的前面，則稱它們構成反序，亦稱逆序，這個排列的所有反序的總和，稱為這個排列的反序數，記為τ(j₁ j₂…j_n)或π(j₁j₂…j_n)。例如，在四個數碼的排列3142中，3與1，3與2以及4與2都構成反序，因此τ(3142)=3。反序數為奇數的排列稱為奇排列，反序數為偶數的排列稱為偶排列。在n (n>1)個數碼的全體n!個排列中，奇、偶排列的個數相等，即都為n!/2個，這決定了在n階行列式的展開式的n!項中正負項各半。

基本介紹

• 中文名：反序數
• 外文名：inverse order number 
• 所屬學科：數學
• 相關概念：反序，排列，自然排列等

基本介紹

排列 把n個不同的元素按一定的順序排成一行( )，稱為這n個元素的一個排列，為了方便起見，這裡只用到前n個自然數 的排列。

n階排列由 組成的有序數組稱為一個n階排列，通常用 表示n階排列。如2341是一個四階排列，25134是一個五階排列。

自然排列 n個不同元素的所有排列的種數，通常用 表示，從n 個元素中任取一個放在第一個位置上，有n種取法；又從剩下的 個元素中任取一個放在第二個位置上，有 種取法；這樣繼續下去，直到最後只剩下一個元素放在第n個位置上，只有一種取法，於是 。如1，2，3這三個自然數組成的所有三階排列：123，132，213，231，312，321，其種數 。 是一個n階排列，它具有自然順序，稱為自然排列(或標準排列)，在這個排列中的任何兩個數，小的數總排在大的數前面。

反序、反序數一個排列中，如果一個大的數排在小的數之前，就稱這兩個數構成個反序、一個排列的反序總數稱為這個排列的反序數。用 表示排列 的反序數。

奇排列、偶排列 反序數為奇數的排列叫做奇排列，反序數為偶數的排列叫做偶排列。

例1 在四階排列2341中，共有反序21，31，41，即 ，所以2341是奇排列。

在五階排列25134中，共有反序21，51，53，54，即 ，所以25134是偶排列。

例2 自然排列的反序數，所以是偶排列；而n階排列的反序數，所以，當n=4k或4k+1時，是偶排列，而當n=4k+2或4k+3時，是奇排列。

求反序時，可以從前到後將相鄰的兩個數進行比較，求出反序及反序數，也可從首位數開始找出每個數與其前面數的反序，(此時首位數的反序為0)，這些反序相加即為反序數。

相關概念與性質

在一個排列中，交換其中某兩個數的位置，而其餘各數的位置不動，就得到另一個同階的新排列。對排列施行的這樣一個交換稱為一個對換，將相鄰兩個數對換，叫做相鄰對換。

定理1對換改變排列的奇偶性。即經過一次對換，奇排列變成偶排列，偶排列變成奇排列。

推論在全部 階排列中，奇、偶排列各占一半，即各有 個。

定理2任意一個n階排列可經過一系列對換變成標準排列，並且所作對換次數的奇偶性與這個排列的奇偶性相同。