反射變換

反射變換(reflection transformation)是歐氏幾何中一種重要變換，即歐氏平面上的軸反射變換和歐氏空間中的鏡面反射變換統稱反射變換，簡稱反射。

基本介紹

• 中文名：反射變換
• 外文名：reflection transformation
• 所屬學科：數學
• 簡介：歐氏幾何中一種重要變換
• 簡稱：反射

反射變換定義

定義1

1.平面上的反射變換

設l為平面上一直線，將平面上任一點P變換到關於l與它對稱的點P'的變換，叫做平面上關於直線l的反射變換；

設A為平面上一點，將平面上任一點P變換到關於點A與P對稱點p'的變換，叫做平面上關於點A的反射變換。

2.空間中的反射變換

設為空間中一平面，將空間任一點P變換到關於平面與P對稱的點P'的變換，稱做空間關於平面的反射變換。

設A為空間中一點，將空間任一點P變換到關於點A與P對稱的點P'的變換，叫做空間關於點A的反射變換。

定義2

我們通常稱集合A到自身的映射f是集合A上的變換，即。若是一一映射，則稱是集合A上的一一變換。

設是平面上的定直線，S是平面上的變換，P、P'是一對對應點。如果線段PP'被直線垂直平分，那么稱S為反射變換(symmetric transformation)，簡記為，為反射軸。

圖1

有時，記點P到的距離為。

由此可知，反射變換由反射軸或一對對應點確定。

圖2

圖2

在反射變換S(l)下，點P變換為點P'，圖形F變換為圖形F'，這可表示為

或記為

反射變換的主要性質

性質1 反射變換下兩點之間距離不變，即對於任意兩點P、Q，，則1(圖3)。

圖3

性質2 反射變換下兩直線的夾角不變，即，則∠RPQ=∠R'P'Q'。

說明 性質1和性質2分別揭示了反射變換的保距性和保角性，並由此可以得到:任一圖形F，經反射變換後得到F'，則F與F'全等。

顯然，我們有

性質3 在反射變換下，反射軸是不動點的集合，垂直於反射軸的直線是不變直線。

性質4 設O為反射軸上一點,P、P’是一對對應點，則∠POP'被所平分。

反射變換有時又稱為軸對稱變換，如果一個圖形F在軸對稱變換下的對應圖形是F' ，那么稱F'是F的軸對稱圖形，它們是互為軸對稱圖形，又若F=F'，則稱圖形F為軸對稱變換下的自對稱圖形，如圖2(2)。

反射變換集合上的運算

反射變換可以組成集合，我們在這樣的集合中定義“乘法運算”，即運算“^.”：

設兩個反射變換，若一個點P(或一個圖形F)在反射變換下為點P'(或圖形F')，而點P'(或圖形F')在反射變換下為點P”(或圖形F”)，則稱點P(或圖形F)在反射變換與的乘積變換下為點P''(或圖形F")，簡記為，而變換稱為與的乘積變換。