超收斂(superconvergence)是有限元法的一種重要性質。誤差u-uh在區域Ω的某些部分，特別是某些點處的收斂速度呈現出高於在Ω上作整體估計時所具有的收斂速度，稱為在這些部分或這些點處呈現超收斂。
基本介紹
- 中文名：超收斂
- 外文名：superconvergence
- 性質：數學
- 學科：微分方程
- 方法：有限元法
收斂,有限元法,微分方程,
收斂
考慮無窮數列1/2，3/4，7/8，15/16，…;直觀地，它收斂於(或趨向於)極限1，這可以用精確的語言作如下表述： 不管數k是如何的大，總能找到相應的數m，使得該數列從第m項之後的任何項與1相差都小於1/k。如果存在某數使一個數列趨向於它，就說這個數列收斂。不收斂的數列可以是振盪的 (例如1，0，1，0，…)或者是發散的(趨向於無窮)(例如1，2，3，4，…)。把上述的定義對應到無窮級數的場合，那么，下列三個級數： 1/2+1/4+1/8+1/16+…，1-1+1-1+…，1+1+1+1+…，就顯然地對應於上述的三個數列。在微積分學和數學表的計算中，無窮級數都是有用的工具。
有限元法
微分方程的一類主要的數值解法。它是解微分方程，特別是橢圓邊值問題的一種現代化、系統化的數值解法。它具有通用簡便，適應靈活，數學基礎牢靠等多方面的優點，特別適合於解決複雜的大型問題，並便於在計算機上實現。
直至20世紀末，有限元法是在求解偏微分方程數值解方面影響最大、發展最快的計算方法之一，是計算數學的一項重大成就，已有逾十萬篇文獻，並仍在快速發展。有限元法的三個基本要素是：
1.問題的變分形式。
2.區域的剖分。
3.分片插值。
在西方，有限元思想是庫朗(Courant，R.)在1943年的一篇論文中明確地提出過，但一直未受到重視.20世紀50年代中期，歐美工程界以航空工程為背景，在結構分析和矩陣方法基礎上提出了結構有限元的雛形。20世紀60年代初期，引進連續體的單元剖分;20世紀60年代中期，逐漸明確有限元方法是變分原理和剖分逼近的有機結合的思想。1966年，西方數學家對一維問題，1968年對高維問題的有限元法進行數學分析，開始了有限元法在計算數學中的黃金時代。
在中國，20世紀50年代末至20世紀60年代初，中國數學家馮康領導的研究集體在研究解決一系列大型水壩建設的應力分析計算問題的基礎上，於1964年系統地創造了現代的有限元法，同時早於西方奠定了方法的數學基礎.它本質上是變分原理和剖分逼近的有機結合，所以當時命名為基於變分原理的差分方法。
微分方程
常微分方程與偏微分方程的總稱。含自變數、未知函式和它的微商(或偏導數)的方程被稱為微分方程。微分方程是數學的重要分支之一。它幾乎與微積分同時產生，並隨實際需要而發展。
微分方程的出現，可以追溯到16世紀與17世紀分野時期。在科學家創立對數的時候，第一次遇到本質上屬於微分方程的問題。納皮爾考慮了兩個相關的連續直線運動，他的工作實質上相當於建立了微分方程：
牛頓和萊布尼茨在建立微分與積分運算時，指出了它們的互逆性，實際上是解決了最簡單的微分方程y = f′(x)的求解問題。圍繞某些質點動力學和剛體動力學的問題以及某些幾何問題的研究，用微積分的方法很快就可以化為一階或二階常微分方程中的一些最簡單的方程。
在18世紀前半葉，常微分方程不只是研究力學的基本工具，而且也是研究微分幾何學和變分法的基本工具。18世紀中葉，由於數學物理中的問題，首先是關於弦振動的問題，開始了偏微分方程的研究。而在18世紀後半葉這種方程被推廣到二維和三維的情形。在對位勢理論的研究中又出現了調和方程。
在整個18世紀，對於各種具體的微分方程，已取得一定的成就：建立了一些特殊的積分法，把解化為初等函式及其積分表達式的方法，以及用近似積分法來求解等。
到18世紀末期，微分方程理論已發展成為一門極重要的數學學科，並且成為研究自然科學的有效工具。可用初等積分法求解的常微分方程的基本類型已經研究清楚;建立了幾種系統的近似解法;引入了一系列基本概念，如微分方程的奇解、通解、全積分、通積分、特積分等;偏微分方程幾何理論的基礎已經奠定;二階偏微分方程的一些經典類型也已確立等。
在這一時期，微分方程與變分法及微分幾何的關係更加密切，並且套用到複變函數、三角級數、特殊函式與橢圓積分等許多領域。
到了19世紀，微分方程在數學分析的新概念和新方法的影響下進入了新的發展階段。
首先提出來的是解的存在性問題。柯西的工作改變了18世紀人們相信微分方程的通解必定存在的觀念。他提出了常微分方程中第一個定解問題(又稱之為初值問題)，後被稱為“柯西問題”，並給出該問題解的存在性與唯一性的證明。後來德國數學家李普希茨和法國數學家皮卡等改進了他的工作。
柯西還把存在性定理推廣到高階方程和一階偏微分方程組在複數域的初值問題，俄國數學家柯瓦列夫斯卡婭在這方面也有重要工作，因此這個存在性定理現在通稱為柯西—柯瓦列夫斯卡婭定理。
這些定理奠定了各種近似解法的基礎，在整個19世紀都研究這些解法。微分方程的奇解理論也在19世紀得到發展。
19世紀上半葉，人們逐漸發現能用初等積分法求解的微分方程十分有限。與代數學中提出的方程根式可解性問題相似，在微分方程中也提出了用初等積分法求解的可能性問題。法國數學家劉維爾證明里卡蒂方程一般不能通過初等積分法來求解的事實改變了人們以往的看法。
與此同時，二階偏微分方程理論得到進一步發展，並且與數學物理、彈性理論、複變函數論、三角級數和變分法密切相關。到19世紀前半葉已經取得了許多重要成果。特別是對熱傳導方程的研究所引出的函式用三角級數表示的問題對實變函式論和積分理論的發展都有重要意義。
在19世紀後半葉和20世紀初期，常微分方程理論中又出現了兩個新的方向。一是常微分方程變換群理論的產生，二是常微分方程定性理論的建立。19世紀70年代，挪威數學家S.李把變換群理論套用於常微分方程理論的研究，並用這種方法把微分方程進行分類，建立解常微分方程的方法。與此同時，由於對天體力學及天文學中某些問題的研究，需要考慮由微分方程所確定的函式在整體範圍內的性質，法國數學家龐加萊和俄國數學家李亞普諾夫建立了常微分方程定性理論。後來他們又研究了運動穩定性的一般問題。
20世紀以來，由於眾多的邊緣學科的產生和發展，微分方程的理論研究更加深入，套用範圍更加廣大。
在中國，1949年以來，微分方程的研究得到重視和發展。在全國各地都培養了一批優秀的微分方程工作者，在常微分方程和偏微分方程的許多研究方向上都做出了大量有水平的工作。
