費馬數(費爾馬數)

費馬數

費爾馬數一般指本詞條

費馬數是以數學家費馬命名的一組自然數,法國數學家費馬對n=0,1, 2, 3, 4的情形做了檢驗,發現這組費馬公式得到的數都是素數。

基本介紹

  • 中文名:費馬數
  • 外文名:fermat number
  • 分類:數學
  • 提出:費馬
  • 時間:1640年
  • 地區:法國
定義,由來,猜想結論,性質,普遍公式,具體形式,猜想,變形,

定義

費馬數是以數學家費馬命名一組自然數,具有形式(
)記為Fn,Fn即為費馬數。其中n為非負整數。若2n + 1 是素數,可以得到n必須是2的冪。也就是說,所有具有形式 2n + 1 的素數必然是費馬數,這些素數稱為費馬素數。已知的費馬素數只有
五個。

由來

法國數學家費馬於1640年提出了以下猜想:
揭示了十進制二進制的關係
可以發現
前5個是質數,因為第6個數實在太大了,費馬認為這個數是質數。
費馬數費馬數
由此提出(費馬沒給出證明),形如
的數都是質數的猜想。後來人們就把形如
的數叫費馬數。

猜想結論

1732年,歐拉算出F5=641×6700417,也就是說F5不是質數,宣布了費馬的這個猜想不成立,它不能作為一個求質數的公式。以後,人們又陸續找到了不少反例,如n=6 時,F6=
=274177×67280421310721不是質數。至今這樣的反例共找到了243個,卻還沒有找到第6個正面的例子,也就是說只有n=0,1,2,3,4這5個情況下,Fn才是質數。幾個費馬數的分解情況是:
F6 = 274177 × 67280421310721
F7 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F8 = 1238926361552897 ×93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321
F9 = 2424833 × 7455602825647884208337395736200454918783366342657 ×74164006262753080152 47871419019374740599407810975190239058213 161444157 59504705008092818711693940737
F10 = 45592577 × 6487031809 × 4659775785220018543264560743076778、192897 × P252
F11 = 319489 × 974849 × 167988556341760475137 × 3560841906445833920513 × P564
F12 = 114689 × 26017793 × 63766529 × 190274191361 × 12561 32134125569 ×
568630647535356955169033410940867804839360742060818433 × C1133
F13 = 2710954639361 × 2663848877152141313 × 3603109844542291969 ×
319546020820551643220672513 × C2391
早已經有人證明,費馬數的因數必然是2n+2*k+1 形。例如n=5時,4294967297=(128×5+1)×(128×52347+1),其中128就是2的7次方。

性質

任意兩個費馬數都互質。
證明如下:設m>n,
,而
=
=
=……=
,所以
整除
。根據輾轉相除的原理
,所以任意兩個費馬數都互質。
費馬數滿足以下的遞迴關係:
其中n ≥ 2。這些等式都可以用數學歸納法推出。從最後一個等式中,我們可以推出哥德巴赫定理:任何兩個費馬數都沒有大於1的公因子。要推出這個,我們需要假設 0 ≤ i < jFiFj 有一個公因子 a > 1。那么 a 能把
Fj都整除;則a能整除它們相減的差。因為a > 1,這使得a = 2。造成矛盾。因為所有的費馬數顯然是奇數。作為一個推論,我們得到素數個數無窮的又一個證明。
其他性質:
  • Fn的位數D(n,b)可以表示成以b 為基數就是
(參見高斯函式).
  • 除了F1 = 2 + 3以外沒有費馬數可以表示成兩個素數的和。
  • p是奇素數的時候,沒有費馬數可以表示成兩個數的p次方相減的形式。
  • 除了F0和F1,費馬數的最後一位是7。
  • 所有費馬數(OEIS中的數列A051158)的倒數之和是無理數

普遍公式

實際上幾千年來,數學家們一直在尋找這樣的一個公式,一個能求出所有質數的公式;但直到現在,誰也未能找到這樣一個公式,而且誰也未能找到證據,說這樣的公式就一定不存在;這樣的公式存不存在,也就成了一個著名的數學難題。參見中文百科“素數普遍公式”和“孿生素數普遍公式”。那裡有可以構造一切素數的普遍公式。
雖然費馬數作為一個關於質數公式的嘗試失敗了,但有意思的是,1801年數學家高斯證明:如果費馬數k為質數,那么就可以用直尺和圓規將圓周k等分.但是,高斯本人實際上並不會做正十七邊形。第一個真正的正十七邊形尺規作圖法直到1825年才由約翰尼斯·厄欽格(Johannes Erchinger)給出.

具體形式

費馬數是以數學家費馬命名一組自然數,具有形式:
其中 n 為非負整數。
若 2n + 1 是素數,可以得到 n 必須是2的冪。(若 n = ab,其中 1 < a,b < n 且 b 為奇數,則 2n + 1 ≡ (2a)b + 1 ≡ (-1)b + 1 ≡ 0 (mod 2a + 1)。)也就是說,所有具有形式 2n + 1 的素數必然是費馬數,這些素數稱為費馬素數。已知的費馬素數只有 F0 至 F4 五個。

猜想

1640年,在數論領域留下不可磨滅足跡的費馬思考了一個問題:式子
的值是否一定為素數。當 n取0、1、2、3、4時,這個式子對應值分別為3、5、17、257、65537,費馬發現這五個數都是素數。由此,費馬提出一個猜想:形如
的數一定為素數。在給朋友的一封信中,費馬寫道:“我已經發現形如
的數永遠為素數。很久以前我就向分析學家們指出了這個結論是正確的。”費馬同時坦白承認,他自己未能找到一個完全的證明。
費馬所研究的
這種具有美妙形式的數,後人稱之為費馬數,並用Fn 表示。費馬當時的猜想相當於說:所有費馬數都一定是素數。費馬是正確的嗎?
進一步驗證費馬的猜想並不容易。因為隨著n的增大, Fn 迅速增大。比如對後人來說第一個需要檢驗的F5 =4294967297已經是一個十位數了。非常可能的是,由於這一數太大,所以費馬在得出自己的猜想時並沒有對它進行驗證。那么,它到底是否如同費馬所相信的那樣是一個素數呢?
1729年12月1日,哥德巴赫(哥德巴赫猜想的提出者)在寫給歐拉的一封信中問道:“費馬認為所有形如
的數都是素數,你知道這個問題嗎?他說他沒能作出證明。據我所知,也沒有其他任何人對這個問題作出過證明。”
這個問題吸引了歐拉。1732年,年僅25歲的歐拉在費馬死後67年得出F5 =641×6700417,其中641=5×27+1 這一結果意味著F5 是一個合數,因此費馬的猜想是錯的。
在對費馬數的研究上,費馬這位偉大的數論天才過分看重自己的直覺,輕率地做出了他一生唯一一次錯誤猜測。更為不幸的是,研究的進展表明費馬不但是錯的,而且非常可能是大錯特錯了。
此後人們對更多的費馬數進行了研究。隨著電子計算機的發展,計算機成為數學家研究費馬數的有力工具。但即使如此,在所知的費馬數中竟然沒有再添加一個費馬素數。迄今為止,費馬素數除了被費馬本人所證實的那五個外沒有再發現一個。

變形

變形費馬數是改變了數值,採用同樣性質的費馬數,例如:
n=0時,
,素數;
n=1時,
,素數;
n=2時,
,素數;
n=3時,
,素數;
n=4時,
合數。
目前僅知道n=0,1,2,3,4,費馬數都是素數,而n為其他正整數時,所發現的費馬數均為合數。

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