負指數冪

當冪的指數為負數時，稱為“負指數冪”。正數a的-r次冪(r為任何正數)定義為a的r次冪的倒數。

基本介紹

• 中文名：負指數冪
• 外文名：negative exponent
• 所屬學科：數學（代數）
• 相關概念：冪，乘方等

基本介紹

在指數法則 中，如果 ，則就產生了負指數冪。

定義負指數冪等於把冪指數變號後所得的冪的倒數。也就是

應該知道，負指數冪也是不能用正整指數冪的意義來解釋的。也就是說“ ”不能認為是“ 個 相乘”的意思。另外在定義中規定底數不得為零，其原因是和零指數冪的定義是一樣的。

在 中規定， ，這是因為 產生於 ， 當 時， ，我們知道0是不能作除數的， 所以 中，當 時， 這是沒有意義的。

相關概念

冪

n個 相乘的積稱為“ 的n次冪”或“ 的n次乘方”記作 ， 是底數，n是指數。這裡n可以是分數、負數，分別稱為“分指數冪”、“負指數冪”，也可以是任意實數或複數。

分指數冪

當冪的指數為分數時，稱為“分指數冪”。正數 的 次冪( 是既約正分數)定義為 的m次冪的n次算術根，就是：

乘方

（1）n個 相乘的積 稱為 的n次“乘方”，參見“冪”。

（2）從 求 的運算，稱為“乘方”。

正整數指數冪

一般地， 叫作 的 次冪， 叫作冪的底數， 叫作冪的指數，並且規定 。我們注意到在 的n次冪定義中，n是正整數，因此通常又把它稱為正整數指數冪。

容易驗證，正整數指數冪的運算滿足如下法則：

(1) ；

(2) ；

(3) ；

(4) 。

負整數指數冪

在法則(3)中規定了 ，如果取消這個限制，就需要討論下面兩種情形：

❶當 時，冪的商有如下運算：

依照法則(3)則有

即

這就說明當指數為負整數時，冪的值是有意義的。此時規定

叫作負整數指數冪。

零指數冪

❷當 時，冪的商有如下運算：

且 故

這說明當指數為零時，冪的值是有意義的。此時規定

叫作零指數冪，又叫零次冪。但是 是無意義的。

正整數指數冪、負整數指數冪、零指數冪統稱為整數指數冪。正整數指數冪的運算法則對整數指數冪仍然是成立的。特別地，有

整數指數冪的運算法則

同上所述，容易驗證，正整數指數冪的運算滿足如下法則：

(1) ；

(2) ；

(3) ；

(4) 。

(5) ；

註：①這些運算性質在整數指數範圍內仍然適用。

②任何不等於零的數的 (n為正整數)次冪，等於這個數的n次冪的倒數，即 ( ，n為正整數)。在這兩個冪的意義中，強調底數 都不等於零，否則無意義。

③學習了零指數冪和負整數指數冪後，正整數指數冪的運算性質可以推廣到整數指數幕的範圍。

冪的運算法則

當指數概念擴充到任意實數之後，冪的運算法則可合併為：

(1) ；

(2) ；

(3) 。