貝特朗定理

貝特朗定理,即伯特蘭定理(Bertrand's theorem),在經典力學里,伯特蘭定理闡明,只有兩種位勢V可以給出閉合軌道(具體定義見正文)。

在現代物理學裡,理論物理學家發現,由於廣義相對論效應,重力勢軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到,水星繞著太陽公轉的橢圓軌道,其近拱點呈緩慢進動狀態。所以,當涉及廣義相對論的領域,伯特蘭定理不成立。

基本介紹

  • 中文名:貝特朗定理
  • 外文名:Bertrand's theorem
  • 別名:伯特蘭定理
  • 學科:物理
  • 範疇:經典力學
  • 作用:精確測試萬有引力的平方反比性質
定義,平方反比力(克卜勒問題),徑向諧振子,牛頓旋轉軌道定理,參閱,

定義

經典力學里,伯特蘭定理闡明,只有兩種位勢V可以給出閉合軌道:
1.平方反比有心力給出的連心勢,像重力勢靜電勢,以方程表示為
2.徑向諧振子勢:
其中,r是徑向坐標,k是正值常數。假若物體從某位置移動,經過一段路徑後,又回到原先位置,則稱此路徑為閉合軌道
1687年,物理泰斗艾薩克·牛頓在巨著《自然哲學的數學原理》里發表的萬有引力定律,解釋了為什麼行星繞著太陽的公轉運動會遵守克卜勒定律。在這之後,許多科學家開始研究,當行星的運動稍許偏離了這軌道的時候,可能會發生的狀況?其中一個問題為:軌道是否仍舊是閉合的?但是,經過多年的探討,科學家都無法給出合理的解答。一直要等到1873年,法國數學家約瑟·伯特蘭發表伯特蘭定理,才正確地解析這問題。對於經典天體力學研究,這定理非常的重要;在宇宙遙遠的那一邊,萬有引力的性質是否仍舊保持不變?伯特蘭定理給予實驗者一個精確的方法,來測試萬有引力的平方反比性質。
在現代物理學裡,理論物理學家發現,由於廣義相對論效應,重力勢軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到,水星繞著太陽公轉的橢圓軌道,其近拱點呈緩慢進動狀態。所以,當涉及廣義相對論的領域,伯特蘭定理不成立。

平方反比力(克卜勒問題)

平方反比有心力給出的連心勢,像重力勢或靜電勢,以方程表示為
處於這種連心勢的粒子,其一般軌道方程寫為
其解答為軌道函式
其中,e是橢圓軌道的離心率
是相位差,是一個積分常數。
這是焦點位於原點的圓錐曲線的一般方程。當
時,這軌道對應於圓形軌道; 當
時,這軌道是橢圓形軌道;當
時,這軌道是拋物線軌道;當
時,這軌道是雙曲線軌道。
離心率與粒子能量E的關係為
所以,當
時,這軌道是圓形軌道; 當
時,這軌道是橢圓形軌道;當
時,這軌道是拋物線軌道;當
時,這軌道是雙曲線軌道。

徑向諧振子

為了方便解析這問題,採用直角坐標
。勢能可以寫為
處於徑向諧振子位勢的粒子,其拉格朗日量
這粒子的拉格朗日方程
其中,
是振動頻率
常數k必須為正值;否則,粒子會朝著無窮遠飛離。這些微分方程的解答為
其中,
分別為x、y、z方向的振幅,
分別為其相位
由於上述方程經過整整一周期
後,會重複自己,軌道解答
是閉合軌道。

牛頓旋轉軌道定理

牛頓旋轉軌道定理表明,對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子,假設再增添立方反比力於此粒子,只要因子
有理數,則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程,增添的立方反比力
其中,
是粒子原本的角動量,
是粒子的質量。
所以,
由於
是有理數,
可以寫為分數
;其中,
都是整數。對於這案例,增添立方反比力使得粒子完成
圈公轉的時間等於原本完成
圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理,因為,增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。

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