譜分布函式

譜分布函式亦稱譜函式，是平穩過程理論的重要概念。譜分布函式 F 不是惟一的，但它們之間最多相差一常數。由相關函式 R(𝜏) 與由協方差函式 𝛤(r) 確定的譜分布函式不同之處是它們對應的勒貝格-斯蒂爾傑斯測度在 0 點相差一常數。

基本介紹

• 中文名：譜分布函式
• 外文名：spectral distribution function
• 適用範圍：數理科學

簡介

在連續參數情形，設{X(t),t∈(-∞,∞)}是均方連續的寬平穩過程，R(𝜏)是它的相關函式。由R(T)的非負定性和波博赫納-辛欽定理知，存在有界非降右連續函式F，使得，這時稱函式 F 為過程的譜分布函式，也有文獻稱過程的協方差函式 𝛤(𝛾) 通過確定的有界非降右連續函式 F 為過程的譜分布函式。

在離散參數情形，設{X (t),t=0,±1,±2,…}是寬平穩序列，R(𝜏)是它的相關函式，則存在[-𝞹,𝞹]上有界非降右連續函式 F ，使得或使得協方差函式，這時稱F為序列的譜分布函式。

譜分布函式 F 不是惟一的，但它們之間最多相差一常數。由相關函式 R(𝜏) 與由協方差函式 𝛤(r) 確定的譜分布函式不同之處是它們對應的勒貝格-斯蒂爾傑斯測度在 0 點相差一常數。

相關函式譜分解

[spectral decomposition of correlation function]

相關函式譜分解亦稱相關函式譜表示（spectral representation of correlation function）或譜展式（spectral expansion equation）。將相關函式表示為其譜分布函式的傅立葉變式。設弱平穩過程 有相關函式 R(t)，則當 時有

而當 時有

此即相關函式的譜分解式，其中 是機率分布函式，稱 為 的譜分布函式。特別地，當 ，稱此 為譜密度函式（spectral density function）。相關函式的模可積是譜密度存在的一個充分條件。

自協方差的譜表示

[spectral representation of autocovariance]

記平穩序列的自協方差函式為 ，根據譜表示理論，自協方差有如下的譜表示，即存在 上的非降的函式 F(x) 使得

稱 F(x) 為自協方差 的譜分布函式。當F(x) 有密度函式時，即 時，則有

稱 f(x) 為 的譜分布密度函式(spectral density function)。

根據譜理論，自協方差函式與譜分布是相互唯一確定的，所以它們所描述序列的特性，本質上是相同的。在實際套用中，主要是根據序列的樣本數據 x(1)，x(2),...,x(T)，對譜分布的統計理論與方法有較長的歷史，擁有較完備和豐富的文獻資料，多年來已在諸多領域中被實際套用。