《複合凸最佳化的算法研究及套用》是依託深圳大學，由胡耀華擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：複合凸最佳化的算法研究及套用
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：胡耀華
- 依託單位：深圳大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目將非線性規劃、數值最佳化、無線感測器網路和壓縮感知等問題有機地結合起來，充分利用複合凸最佳化的特殊結構、數值最佳化和數值分析的理論知識，對複合凸最佳化問題進行分析和研究。本項目將提出新型線性化正則化方法並全面研究算法的收斂性質，包括收斂性結果、收斂速度和收斂判據，設計全局收斂策略和非精確疊代策略並建立相關收斂性質。同時，本項目還將所研究的模型和算法套用於解決無線感測器網路定位和壓縮感知等實際套用問題。本項目屬於最佳化理論、數值最佳化、通訊控制、信息科學等多個分支的交叉學科，無論在理論研究還是在套用前景上都有重要的學術價值和研究意義。
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結題摘要
隨著大數據時代的來臨，最最佳化模型與大規模數最佳化算法成為了非常熱門的研究領域，為大數據問題提供可行的研究模型和計算方法。本項目分別針對複合凸最佳化模型和廣義凸最佳化模型，分別研究這兩類大規模問題的數值算法及相關套用。 複合凸最佳化問題是一類重要的非凸非光滑最佳化問題，它為可行性問題、極大極小問題、正則化問題等套用數學以及多個學科的套用問題提供統一的模型框架。然而，限於模型的複雜結構與不良性質，複合凸最佳化問題的數值算法研究進展緩慢且困難較大。為了攻克複合凸最佳化問題的計算難題，本人及合作者原創地提出了快速的一階疊代算法：線性化鄰近點算法。在局部p階局部weak sharp minima和quasi-regular的假設前提下，我們證明了這一類算法（包括精確、非精確、全局化線性化鄰近點算法）的超線性收斂速度，攻克了大規模複合凸最佳化的計算難題，並成功解決了（非凸）可行性問題和無線感測器網路問題，通過大量的數值模擬展示了其解決大規模感測器網路定位問題的可行性和高效率。 廣義凸最佳化模型比凸最佳化模型能夠更準確地刻畫實際問題，而且又保留了凸函式本身的一些優良性質，因此得到了國內外學者的廣泛研究。次梯度算法是求解凸最佳化問題的著名一階疊代算法，其理論性質、算法改進和實踐套用已經被國內外學者廣泛研究。然而，次梯度方法是否能夠推廣適用於凸最佳化範疇以外的某類問題，尚未有正面的回答與相關的研究。本人填補了這一部分的研究空白，系統性地將次梯度算法的理論研究和套用推廣到廣義凸最佳化領域。我們系統性地將建立了廣義凸最佳化問題的次梯度類算法的理論研究和套用，包括隨機形式、原-對偶形式、修正次梯度算法研究，並套用於解決經濟學中著名的Cobb-Douglas生產效益問題，展示了大量的大規模數值模擬結果。 本項目共發表了5 篇學術論文，分別發表在國際著名期刊SIAM Journal on Optimization, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Pure and Applied Functional Analysis, Quantitatively Biology。代表性成果榮獲“2016年廣東省計算數學優秀青年論文獎”特等獎。
