虛根

虛根，顧名思義就是解方程後得到的是虛數，這樣的根叫虛根。虛數是為了滿足負數的平方根而產生的，規定根號-1為i。虛根一般只在二次或更高次的方程中出現。

基本介紹

• 中文名：虛根
• 外文名：imaginary root
• 定義：方程的複數根
• 相關概念：共軛虛根、複數等

定義

虛根指的是方程的複數根。如果一個實係數整式方程有虛根，則其共軛複數也是所給方程的根(共軛根)。實係數二次方程具有虛根的必要充分條件是。

相關定理

定理一

如果實數係數方程有虛根，這裡a和b都是實數，，那么它還有另一個虛根。

這個定理叫做實數係數方程虛根成對定理，這個定理就是說，一個實數係數方程如果有虛根，那么共軛虛根一定成對出現，下面我們用兩種方法來證明這個定理。

證明一 設用

除所得的商是，餘式是，那么就有

因為被除式和除式的各項的係數都是實數，所

以商和餘式的各項的係數都是實數。

因為a+bi是方程的根,所以．因此，把代入上式，得

就是

根據複數等於零的條件，得

因為，所以從(2)，得，代入(1)，得，因此，

從而，，由此可知，是的根。

證明二 因為a+bi是的根，所以是的因式，因此，和

的最高公因式，只有兩種可能：或者是，或者是。

因為，和的各項的係數都是實數，它們的最高公因式的各項的係數也都是實數，而的各項的係數不全是實數，所以不是和的最高公因式。因此，是和的最高公因式，由此可知，

因此，是的根。

因為實數係數方程如果有虛根，共軛虛根一定成對出現，所以我們可以得出下面的兩個推論。

推論1

實數係數奇次方程至少有一個實根，一般有奇數個實根。

推論2

實數係數偶次方程或者沒有實根，或者有偶數個實根。

因為實數係數方程有一個實根c，就有一個實數係數因式和它對應，有一對虛根，就有一個實數係數因式和它對應，所以我們又可以得出下面的推論。

推論3

實數係數多項式一定是一次或者二次的實數係數不可約因式的積。

定理2

如果有理數係數方程有無理根，這裡a、b和d是有理數，是無理數，，那么它還有另一個無理根。

定理3

如果有理數係數方程有無理根，這裡a、b、c和d是有理數，是無理數，ab≠0，那么它還有另外三個無理根，和。

定理4

如果有理數係數方程有一個根是，這裡a、b和c是有理數，是無理數，，那么它還有另外三個根，和。

定理5

如果有理數係數方程有一個根是，這裡a、b、c和d是有理數，是無理數，，那么它還有另外三個根，和。

例1 已知方程有一個根是，解這個方程。

解 因為實數係數方程有一個根是，所以它還有一個根是，用

除得．解得。

因此，原方程的根是。