蓋爾曼矩陣(Gell-Mann matrices)是八個線性獨立且無跡的埃爾米特矩陣,是SU(3)群的李代數的一種基表示,以物理學家默里·蓋爾曼命名。蓋爾曼矩陣是為了分析強相互作用的味對稱性而提出的(u,d,s夸克之間的SU(3)對稱性),廣泛套用於強子分類。而之後物理學家們在分析其他SU(3)對稱性時都會選取這種表示(比如色的SU(3)對稱性)。
基本介紹
- 中文名:蓋爾曼矩陣
- 外文名:Gell-Mann matrices
定義,性質,跡正交性,對易關係,完備性關係,表示論,套用,
定義





物理學中常用另一種形式的蓋爾曼矩陣
。

性質
蓋爾曼矩陣是無跡的埃爾米特矩陣(故可以通過指數運算生成么正矩陣),並滿足跡正交關係。這些性質是由蓋爾曼選定的,因為這樣自然地把SU(2)的泡利矩陣推廣到SU(3),構成了蓋爾曼夸克模型的基礎。蓋爾曼的推廣還可進一步擴展到一般的SU(n)上。
跡正交性


有三個獨立的SU(2)子代數:
,
與
。其中
與
都是
的線性組合。這些子代數的任意么正相似變換仍然是SU(2)子代數。






這樣的好處是以
作坐標軸畫權圖時,兩坐標軸是垂直的。在這樣定義下基礎表示與其共軛表示的權圖是關於
軸對稱的正三角形,見下圖



對易關係
蓋爾曼矩陣滿足對易關係

完備性關係
八個蓋爾曼矩陣與單位矩陣一起構成了完備的跡正交集,能生成所有的3×3矩陣。因此可以直接找到兩個完備性關係,就像泡利矩陣所滿足的那樣。第
個蓋爾曼矩陣的第
行第
列的元素記做
,並記





則以下恆等式成立



表示論
SU(3)中的任何元素都可以寫成
的形式,其中
是八個實數,並使用愛因斯坦求和約定。


蓋爾曼矩陣的平方和給出了二次卡西米爾運算元

套用
蓋爾曼矩陣在強子分類中有重大意義。
為u,d夸克SU(2)同位旋空間的第三分量,可以表達為:



在量子色動力學中,蓋爾曼矩陣可用來研究膠子場的“色”旋轉。規範色旋轉可表示為
