卡西米爾運算元

和一個群的任何運算元都可對易的運算元，稱為這個群的卡西米爾運算元（Caslmtr operator）。卡西米爾運算元的個數等於群的秩，它們一起構成一個完全組。卡西米爾運算元的重要性在於，這組運算元的本徵值可用來標記群的不可約表示，即它們的每一組本徵值都代表了一個不可約表示。例如，轉動群是秩為1的李群，有一個卡西米爾運算元，即角動量的平方，因而轉動群的不可約表示就是用角動量的本徵值來標記的。

基本介紹

• 中文名：卡西米爾運算元
• 外文名：Caslmtr operator
• 定義：和一個群的任何運算元都可對易
• 套用學科：量子力學術語
• 範疇：數理科學
• 涉及：李群

概念

和一個群的任何運算元都可對易的運算元，稱為這個群的卡西米爾運算元（Caslmtroperator）。卡西米爾運算元的個數等於群的秩，它們一起構成一個完全組。卡西米爾運算元的重要性在於，這組運算元的本徵值可用來標記群的不可約表示，即它們的每一組本徵值都代表了一個不可約表示。例如，轉動群是秩為1的李群，有一個卡西米爾運算元，即角動量的平方，因而轉動群的不可約表示就是用角動量的本徵值來標記的。

基本原理

代數的 — 張量，即

其中 為代數的結構常數。根據定理，半單 代數 的 — 度規張量是非退化的，即

因而半單代數的度規張量存在逆矩陣 ，

一般把逆張量的矩陣元記為，即

可由度規張量的逆定義為卡西米爾（）運算元。

定義運算元為為半單代數的卡西米爾運算元，，為半單代數的基矢。

卡西米爾運算元具有一個重要的性質：半單代數的卡西米爾運算元與代數的所有元素都是交換的。

由於卡西米爾（）不變運算元與代數的所有元素都是交換的，因而它們在半單代數和半單群的表示理論研究中是十分有用的，可用它們的本徵值標記不可約表示的基矢。

由於度規張量非退化是半單代數的充要條件，因而非半單代數度規張量一定是退化的，不存在逆。這樣便不能定義卡西米爾（）運算元。不過對於非半單代數也可用其它方法定義與代數的所有元素都交換的運算元，一般稱為不變運算元。