基本介紹
定義,性質,套用,
定義
“萊維飛行”以法國數學家保羅·萊維命名，指的是步長的機率分布為重尾分布的隨機行走，也就是說在隨機行走的過程中有相對較高的機率出現大跨步。萊維飛行的名稱來源於本華·曼德博（Benoît Mandelbrot，萊維的學生）。他用“柯西飛行”來指代步長分布是柯西分布的隨機行走，用“瑞利飛行”指代步長分布是常態分配（儘管常態分配沒有重尾）的隨機行走（瑞利分布是二維獨立同方差正態變數模長的分布）。後來學者還進一步將萊維飛行的概念從連續空間推廣到分立格點上的隨機運動。曼德博書中描述的萊維飛行的例子是生存函式（或稱殘存函式）如下的隨機行走：
其中U是步長，D是分型維度參數。
性質
萊維飛行屬於馬爾可夫過程。對一般的類冪律的步長分布，經過很多步之後與起始點的距離的分布將會因一般化的中心極限定理而趨近於穩定分布（萊維α穩定分布）。因此，很多隨機行走過程都可以用萊維飛行來描述。萊維飛行的粒子機率分布可以用描述布朗運動時常用的一般化的Fokker--Planck方程描述。該方程需要使用分數導數（fractional derivative）。當步長機率分布對稱時，該方程在Riesz分數導數下有簡單形式。一維情形下該方程為：
其中γ為與擴散係數類似的常數，α是穩定分布的參數（可以不是整數），f(x,t)為勢函式。和一般導數類似，Riesz分數導數也可以在傅立葉空間寫成：
萊維飛行的另一性質是，除了α=2（即布朗運動）的情況外，萊維飛行的方差發散。更一般地，萊維飛行的第θ階距滿足：
下面左圖給出了一個1000步的二維萊維飛行的例子，其起始點坐標為（0，0），步長分布（每一維）為柯西分布，也即α=1，β=0的萊維分布（穩定分布）；右圖給出了1000步類布朗運動的“萊維飛行”的例子，其步長分布為常態分配，也即α=2，β=0的萊維分布。可以看出前者由於具有較高長程移動的機率（步長機率為冪律衰減），因此移動範圍比後者廣很多；後者無法“飛行”，因為其出現長距離移動的機率非常低（指數衰減），所以不能算作“萊維飛行”。
套用
萊維飛行與混沌理論有關，在對隨機和偽隨機自然現象的測量和模擬中有廣泛的套用，可見於地震數據分析、金融數學、密碼學、信號處理、以及天文學、生物學、物理學等諸多領域。萊維飛行的另一套用是生物學中所謂的“萊維飛行假說”（Lévy flight foraging hypothesis）：當鯊魚或海洋中的其他捕食者無法找到食物時，它們就會由布朗運動（每步都較短的隨機運動）轉為萊維飛行（混合了長距離和短距離的隨機移動）。生物學家研究了在大西洋和太平洋中55個海洋捕食者在5700天內做出的1200萬次移動。這些動物分屬14個物種，包括絲鯊、黃鰭鮪魚、藍槍魚、劍魚等。數據表明萊維飛行和布朗運動的混合可以描述它們的捕食運動。鳥類和其他動物（包括人類）尋找食物的運動模式也可以用萊維飛行來描述。萊維飛行的α參數還和網路中是否存在高效搜尋算法有關
