莫爾斯指數

莫爾斯指數（Morse index）是臨界點處的二階導運算元的最大負定子空間的維數。

基本介紹

• 中文名：莫爾斯指數
• 外文名：Morse index
• 適用範圍：數理科學

簡介

莫爾斯指數是臨界點處的二階導運算元的最大負定子空間的維數。

設X是希爾伯特空間，f∈C(X,R)，x₀是f的臨界點。X的線性子空間V是f''(x₀)的負定子空間，指的是

f''(x₀)的負定子空間的維數的上確界稱為臨界點x₀的莫爾斯指數。

推廣

f''(x₀)的正定子空間的維數的上確界稱為臨界點x₀的莫爾斯余指數。

kerf''(x₀)的維數稱為x₀的零化數。

對於希爾伯特流形上C泛函f的臨界點p，可利用點p處的局部坐標系(U,φ)，把泛函f∘φ的臨界點φ(p)的莫爾斯指數、余指數及零化數作為f的臨界點p的莫爾斯指數、余指數及零化數的定義。

泛函的臨界點

泛函的臨界點是泛函的梯度為零的點。

關於泛函的臨界點的研究成果形成了頗為系統的臨界點理論，它為研究非線性梯度運算元方程的解提供了理論工具。由於一些散度型微分方程的解恰是相應的積分泛函（亦稱變分泛函）的臨界點，因此，用臨界點理論研究非線性方程的方法被稱為非線性分析的變分方法。