指標形式（index form）由測地線第二變分確定的二次型.設Y（t） （a鎮t鎮b）是黎曼流形M中一條以弧長t為參數的測地線.用.（a,b）表示沿著測地線州:。，習定義的分段光滑切向量場的集合，則指標形式I（·，·）是定義在.（＜;a,b）上的對稱雙線性形式
基本介紹
- 中文名：指標形式
- 外文名：index form
方程式介紹
其中（X,YE.Ca,b）,X'（t）=（Dr-X,Y'＜t）=（Dr.Y.若UE.＜a,b）且U（a）=（UCb）=0，則關於以U為變分向量場的變分a;a,司X（一。,e）M，弧長的第二變分恰好是1 ''（0） =（1 ＜U土，U_L ），其中U土表示向量場U與Y正交的分量.指標形式是莫爾斯（Morse,H. M.）引進的.若（oCa,b）=（X E ＜a,b） X（a）=X （b ）=0，則著名的莫爾斯指標定理敘述為:對於黎曼流形M中以弧長t為參數的測地線（Y fit）（a毛t鎮b），空間（oCa,b）的使指標形式I（·，·）在其上的限制為負定的極大子空間的維數是有限的，稱為測地線Y（t）（a毛t鎮b）的指數，它恰好等於端點x=Y（a）在測地線Y（t） a鎮（t＜b ）上（不含端點Y（b））的共扼點的個數（按共扼點的重數計算）.若Y＜（b）不是x的共扼點，則1在.（o＜a,b）中零化子空間為零;若Y（b）是二的共扼點，則1在.o（a,b）中的零化子空間的維數恰好是Y（b）作為二的共扼點的重數，記為（u＜b）.這樣，上述定理的前一部分可重新表述為:測地線（Y＜t）（a鎮t鎮b）的指數
公式
指標形式
而且等號僅當W=J時成立.上述命題稱為基本指標引理，在大範圍黎曼幾何中有許多重要的套用.
